Nivel 1 · Lección 1

Toda onda es una noria

Unos 35 minutos

La idea en una imagen

Una noria gira siempre a la misma velocidad. La altura de la cabina verde, apuntada instante a instante, dibuja una onda: la sinusoide. Lo recién apuntado queda junto a la noria, y lo de la derecha pasó hace un momento, hasta dos segundos atrás.

Una sinusoide es lo que se ve de algo que gira cuando solo se mira su altura, como la sombra de una rueda proyectada en una pared. Esa misma curva es también el movimiento natural de todo lo que vibra, y por eso aparece en un diapasón, en el enchufe y en un silbido.

Cambia el tamaño o la velocidad de la noria y fíjate en dónde aparece el cambio: nace junto a la noria y se aleja hacia la derecha, porque la onda es la historia de la cabina. Si enciendes la cabina naranja, verás dos historias que corren a la par.

Paso a paso

La sombra de una noria

La presión del aire delante de un micrófono sube y baja, y la tensión de un enchufe también. El pulso, la temperatura de una calle o el precio del pan cambian con el tiempo, y todo lo que cambia y se puede medir es una señal. Para dibujarla bastan dos ejes: el tiempo y lo que se mide.

Imagina una noria de feria que gira despacio y fíjate en una sola cabina. Su altura sube, llega arriba, baja, pasa por abajo y vuelve a subir. Si apuntas esa altura en cada instante y vas dejando lo apuntado a un lado, aparece una curva suave que se repite: la sinusoide, o seno. Cada punto de la curva cuenta dónde estaba la cabina en un instante pasado.

Lo que guarda un móvil, en cambio, son números. Cuando grabas un audio, el micrófono apunta cuánto empuja el aire decenas de miles de veces por segundo, así que, para una máquina, una señal es una lista de números en orden. En el reto verás crecer esa lista mientras giras la noria.

Agarra la noria con el dedo o con el ratón y dale una vuelta completa. Mientras giras, la traza apunta la altura de la cabina verde.

Lo que apuntaría una máquina, cuatro veces por segundo, de ahora hacia atrás:

Vueltas por segundo

La noria trae, gratis, todo el vocabulario de las ondas, y la primera palabra es la velocidad. Si la noria gira más rápido, la cabina sube y baja más veces en el mismo tiempo y las ondas se apretujan. El número de vueltas que da en un segundo es la frecuencia, y se mide en hercios: un hercio es una vuelta, un ciclo, por segundo. El nombre homenajea a Heinrich Hertz, el primero que demostró que existen las ondas electromagnéticas.

Lo que tarda una vuelta es el periodo. Frecuencia y periodo son dos caras de lo mismo: si la noria da cuatro vueltas por segundo, cada vuelta dura un cuarto de segundo.

El enchufe de casa es el caso más literal. Gran parte de la electricidad sale de generadores que giran, y el típico de una central térmica tiene dos polos y da 3.000 vueltas por minuto, que son cincuenta por segundo. Cada vuelta empuja la tensión arriba y abajo una vez, y por eso la red europea va a 50 Hz. Buena parte de América usa 60 Hz, y Japón tiene las dos, porque en 1895 Tokio compró generadores alemanes de 50 Hz y, al año siguiente, Osaka los compró estadounidenses de 60. Hoy, además, los paneles solares y las baterías fabrican esa misma curva con electrónica, sin girar, imitando a la noria.

Esta onda dura justo un segundo. Cuenta cuántas vueltas da y escribe su frecuencia; después, escribe lo que dura cada vuelta, su periodo.

Si te ayuda, toca las crestas para numerarlas. El periodo puedes escribirlo como «0,25», como «1/4» o como «250 ms».

El tamaño y la velocidad se oyen

La segunda palabra es el tamaño. Si la noria es más grande, la cabina sube más y baja más, y la onda crece. A esa altura máxima, medida desde el centro, se la llama amplitud.

Cuando la onda es un sonido, cada palabra se oye a su manera. La frecuencia se oye como la nota: una noria que girase 440 veces por segundo sonaría como el La con el que afina una orquesta, el del diapasón más común. La amplitud se oye como el volumen, de modo que una noria grande suena fuerte y una pequeña, flojita. La sensación de volumen también depende de la nota, pero para empezar basta con esto. Oímos, más o menos, entre 20 y 20.000 Hz, y el límite de arriba baja con la edad.

Escucha los dos tonos y elige el más agudo, el de la nota más alta. Cuidado, porque el más agudo no siempre es el que suena más fuerte. Consigue tres aciertos seguidos.

El punto de partida

La tercera palabra parece la más aburrida. Pon dos cabinas en la misma noria, separadas un cuarto de vuelta: dibujan exactamente la misma onda, pero una va por delante de la otra. Ese desfase, el punto de la vuelta en el que empieza cada cabina, se llama fase, y se mide en grados (una vuelta entera son 360°) o en fracciones de vuelta.

Tamaño, velocidad y punto de partida: con amplitud, frecuencia y fase se describe cualquier sinusoide. En el reto, una cabina naranja dibuja una onda con tres valores que no conoces, y tienes que averiguarlos moviendo tu noria.

Ajusta el tamaño, la velocidad y el punto de partida de tu noria hasta que la onda verde tape a la naranja punteada.

Cuando la fase decide

Con una onda sola, la fase casi da igual, porque solo dice dónde empieza. En cuanto se suman dos ondas, en cambio, decide si se refuerzan o se anulan. Si las dos cabinas van juntas, sus alturas se suman y la onda crece al doble; si una está arriba justo cuando la otra está abajo, se compensan en cada instante.

Los auriculares con cancelación de ruido se apoyan en esto: un micrófono escucha el ruido de fuera y el auricular fabrica una onda igual con el punto de partida cambiado, de modo que las dos se compensan dentro de tu oído. Sumar ondas es el tema de la lección 3; aquí basta con ver lo que hace la fase.

Arrastra la cabina naranja alrededor de la noria hasta que la suma de las dos ondas desaparezca. Con «Oír la suma» la escuchas mientras la mueves.

Lo que vibra

Un diapasón no gira y, sin embargo, dibuja la misma curva, por una razón más profunda. Si separas una púa del diapasón de su posición y la sueltas, el propio metal tira de ella para devolverla, y cuanto más la separas, más fuerte tira. Es la regla de un muelle: una fuerza de vuelta proporcional a la separación.

Todo lo que cumple esa regla se mueve igual, con un movimiento que los físicos llaman movimiento armónico simple, y ese movimiento es exactamente la sombra de una noria. Las púas del diapasón, el aire que vibra dentro de la boca al silbar o un columpio con poco impulso la cumplen, al menos de forma aproximada. Un diapasón recién golpeado hace además un «clang» agudo que se apaga enseguida y deja solo la nota pura.

Lo deprisa que vibra un muelle depende de dos cosas: de lo duro que es, su rigidez, y de lo que pesa la masa que cuelga. Un muelle más duro devuelve la masa con más fuerza y vibra más deprisa, mientras que una masa más pesada cuesta más de mover y vibra más despacio.

Ajusta la rigidez del muelle y la masa hasta que la masa naranja suba y baje a la par que la cabina verde. Cada vez que tocas un mando, la masa vuelve a salir desde la altura de la cabina.

En tu voz

Qué grabar. Un silbido sostenido de unos segundos y, después, una «aaa» larga en la misma nota: son los tramos 2 y 3 de la grabación de referencia de la serie. Graba con el micrófono si tu navegador lo deja; si no, sube un audio grabado con el móvil o prueba con los ejemplos sintéticos.

Qué mirar. El osciloscopio enseña unos pocos milisegundos de la señal, y en esa ventana tu silbido debería parecer casi una noria perfecta. Un estudio que grabó a veinte personas silbando encontró que en un silbido domina una sola frecuencia, casi siempre entre 500 y 5.000 Hz. La «aaa» se repite al mismo ritmo, pero con jorobas y picos propios que una noria sola no puede dibujar. Toca dos crestas seguidas para medir lo que dura una vibración: de ahí salen la frecuencia y la nota, y el laboratorio te dice cuánto se parece tu señal a una sola noria.

Lo que tienes que recordar

Una señal es algo que cambia y se puede medir. Para una máquina, es una lista de números en orden.
La sinusoide es la sombra de algo que gira, y se describe con tres palabras: amplitud, el tamaño; frecuencia, las vueltas por segundo; y fase, el punto de partida.
Aparece en todas partes porque es la sombra de lo que gira y el movimiento natural de lo que vibra. Casi nada es una sola noria, pero casi todo se puede construir juntando norias.

Errores típicos

«Más frecuencia es más volumen.» La frecuencia es la nota, y el volumen depende de la amplitud. Son independientes: una noria pequeña y rápida da una nota aguda y flojita.
«La fase da igual.» Con una onda sola, casi. En cuanto se suman dos, la fase decide si se refuerzan o se anulan, y los auriculares con cancelación de ruido viven de eso.
«La sinusoide es un invento matemático.» Es lo que hace un muelle, la púa de un diapasón o la tensión de un generador. Las matemáticas la describen, y la curva ya estaba en el muelle antes de que nadie la escribiera.
«El ordenador guarda la curva.» Guarda números sueltos, uno cada poco tiempo, y entre uno y otro no mira. La curva la reconstruye quien la dibuja.
«Toda onda es una sinusoide.» El título de esta lección es un lema. La onda más simple es una noria, y la mayoría, como tu «aaa», son sumas de norias.

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Rincón matemático

Las fórmulas, para quien las quiera. Cada una va después de su lectura en palabras.

La cabina

Si la noria gira con velocidad angular constante \omega y la cabina empieza en el ángulo \varphi, su ángulo en el instante t es \theta = \omega t + \varphi. Vista de frente, la cabina tiene dos sombras, una en el suelo y otra en la pared, y la de la pared es su altura, la onda de esta lección:

x(t) = A\,\cos(\omega t + \varphi), \qquad y(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi)

Frecuencia y periodo

La velocidad angular cuenta radianes por segundo, y la frecuencia, vueltas por segundo. Una vuelta son 2\pi radianes, y el periodo es lo que dura una vuelta:

\omega = 2\pi f, \qquad T = \frac{1}{f}

Dos cabinas

Dos cabinas de la misma noria separadas un ángulo \delta suman sus alturas en otra sinusoide de la misma frecuencia, cuyo tamaño depende de la separación. Con media vuelta, \delta = \pi, el coseno vale cero y la suma desaparece:

A\,\sin\,\theta + A\,\sin(\theta + \delta) = 2A\,\cos\!\left(\tfrac{\delta}{2}\right)\,\sin\!\left(\theta + \tfrac{\delta}{2}\right)

El muelle

«La fuerza de vuelta es proporcional a la separación y apunta hacia el reposo» se escribe con la ley de Hooke y la segunda ley de Newton:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Sus soluciones son justamente las sombras de una noria que gira con velocidad angular \omega = \sqrt{k/m}. Por eso, en el reto del muelle, lo único que cuenta es la proporción entre rigidez y masa:

x(t) = A\,\cos\!\left(\sqrt{k/m}\;t + \varphi\right), \qquad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

El generador

Una máquina síncrona de P polos que gira a N vueltas por minuto produce una tensión de frecuencia

f = \frac{P\,N}{120}

Con P = 2 y N = 3{.}000 sale f = 50 Hz.

Un adelanto

Las dos sombras juntas forman un número complejo, y la noria entera cabe en una sola expresión, que se lee «una flecha de longitud A que gira»:

A\,e^{i(\omega t + \varphi)} = A\,\cos(\omega t + \varphi) + i\,A\,\sin(\omega t + \varphi)

Volverá en la lección 4, con Fourier, y en la lección 16, con la señal analítica.

Para saber más

Libro abierto · inglésOpenStax, University Physics, vol. 1: § 15.3, el movimiento armónico simple y el circular y § 15.1, el movimiento armónico simple. La sombra de la rueda, con todo el rigor y gratis.
Libro abierto · inglésOpenStax, § 17.3, la intensidad del sonido. Por qué la frecuencia se oye como tono y la intensidad, que crece con la amplitud, como sonoridad.
Interactivo · inglésJack Schaedler, Circles, Sines and Signals. Un texto interactivo que explica el procesamiento digital de señales con animaciones y sonido, hasta la transformada discreta de Fourier.
Artículo · inglésNilsson, M., Bartůněk, J. S., Nordberg, J. y Claesson, I. (2008). Human Whistle Detection and Frequency Estimation. CISP 2008. Graban a veinte personas silbando: domina una sola frecuencia, entre 500 y 5.000 Hz.
App gratuitaphyphox, de la Universidad RWTH de Aquisgrán: su experimento Audio Scope es un osciloscopio de audio para mirar tu silbido en el móvil mientras suena.