La noria entera
La noria entera es una flecha de longitud A que gira. Su sombra en la pared es el coseno y su sombra en el suelo, el seno, y juntas forman un número complejo:
A\,e^{i(\omega t + \varphi)} = A\,\cos(\omega t + \varphi) + i\,A\,\sin(\omega t + \varphi)
Las frecuencias negativas
Un coseno real es la suma de dos medias norias que giran en sentidos opuestos, y la que gira al revés es la frecuencia negativa:
\cos(\omega t) = \tfrac{1}{2}\,e^{i\omega t} + \tfrac{1}{2}\,e^{-i\omega t}
La transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert multiplica cada frecuencia positiva por -i y cada negativa por +i, es decir, gira cada noria un cuarto de vuelta sin cambiar su tamaño:
\widehat{\mathcal{H}\{x\}}(f) = -i\,\operatorname{sgn}(f)\,\hat{x}(f), \qquad \mathcal{H}\{\cos\omega t\} = \sin\omega t
En el tiempo, es una convolución con uno partido por pi por t (con valor principal en el cero):
\mathcal{H}\{x\}(t) = \frac{1}{\pi}\;\mathrm{p.v.}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau}\, d\tau
La señal analítica y la receta de Gabor
La señal analítica es la señal más i por su transformada de Hilbert. En el espectro dobla las frecuencias positivas, deja la continua y borra las negativas, que es la receta de Gabor:
z(t) = x(t) + i\,\mathcal{H}\{x\}(t), \qquad \hat z(f) = \begin{cases} 2\,\hat x(f) & f > 0 \\ \hat x(0) & f = 0 \\ 0 & f < 0 \end{cases}
Con N muestras (N par), se multiplica cada casilla de la FFT por este peso y se deshace la FFT:
h[k] = \begin{cases} 1 & k = 0 \ \text{o}\ k = N/2 \\ 2 & 1 \le k < N/2 \\ 0 & N/2 < k \le N - 1 \end{cases}
El radio, el ángulo y la frecuencia instantánea
La envolvente es el módulo de la señal analítica, y la fase, su ángulo contando las vueltas:
A(t) = |z(t)| = \sqrt{x(t)^2 + \mathcal{H}\{x\}(t)^2}, \qquad \varphi(t) = \arg z(t) \ \ (\text{desenrollado})
La frecuencia instantánea es el ritmo de cambio de la fase. Con muestras, basta medir cuánto gira la flecha entre una muestra y la siguiente, y así no hace falta desenrollar:
f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\,\frac{d\varphi}{dt}, \qquad f_i[n] \approx \frac{f_s}{2\pi}\,\arg\!\left(z[n+1]\,\overline{z[n]}\right)
Demodular una AM
Si el tamaño cambia despacio comparado con el giro, es decir, si su espectro queda por debajo de la frecuencia de la portadora, la señal analítica de una AM es el tamaño por la noria, y su módulo devuelve el mensaje:
x(t) = a(t)\,\cos(\omega_c t) \;\Longrightarrow\; z(t) \approx a(t)\,e^{i\omega_c t}, \qquad |z(t)| \approx a(t)
Dos notas a la vez
Con dos tonos, la frecuencia instantánea es la media de las dos más un término que oscila con el batido y pesa la diferencia de los cuadrados de las amplitudes (Cohen, Loughlin y Vakman, 1999):
\omega_i(t) = \tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b) + \tfrac{1}{2}(\omega_a - \omega_b)\,\frac{A_a^2 - A_b^2}{A^2(t)}, \qquad A^2(t) = A_a^2 + A_b^2 + 2A_aA_b\cos\!\big((\omega_a - \omega_b)t\big)
Con amplitudes 1 y a < 1, el valor más bajo llega cuando las dos norias apuntan en sentidos opuestos, y es negativo si a entre uno menos a supera la frecuencia de la primera entre la diferencia:
f_{\min} = f_1 - (f_2 - f_1)\,\frac{a}{1 - a}, \qquad f_{\min} < 0 \iff \frac{a}{1-a} > \frac{f_1}{f_2 - f_1}
Con f_1 = 220 Hz y f_2 = 264 Hz el cociente vale 5, de modo que sale negativa a partir de a = 5/6 \approx 0{,}83.
Los golpes de un rodamiento
Con n bolas de diámetro d en una circunferencia de diámetro D, ángulo de contacto \phi y eje a f_r vueltas por segundo, los ritmos de golpeo de un defecto en la pista de fuera, en la de dentro, en la jaula y en una bola son:
\text{BPFO} = \frac{n f_r}{2}\left(1 - \frac{d}{D}\cos\phi\right), \quad \text{BPFI} = \frac{n f_r}{2}\left(1 + \frac{d}{D}\cos\phi\right)
\text{FTF} = \frac{f_r}{2}\left(1 - \frac{d}{D}\cos\phi\right), \quad \text{BSF} = \frac{D f_r}{2d}\left[1 - \left(\frac{d}{D}\cos\phi\right)^{2}\right]