Nivel 5 · Lección 17

Cuando suenan varias norias a la vez

Unos 50 minutos

La idea en una imagen

La señal de arriba es la suma de tres capas: una noria rápida cuyo tamaño respira, otra más lenta y una tendencia que apenas se mueve. Pela una capa tras otra y verás cómo cada una baja a su propia fila, mientras arriba queda lo que falta por pelar. Las capas están calculadas sobre esta misma señal, con el método de esta lección.

En la lección 3 un sonido era una pila de norias, los epiciclos, cada una con su tamaño y su velocidad. Aquí cada noria puede además cambiar de tamaño y de velocidad mientras gira, siempre que lo haga despacio comparado con su propio giro. A cada una de esas norias la llamaremos modo, y a una señal hecha de varias, señal multicomponente. El problema del coro es sacar los modos de una suma sin saber de antemano cuántos hay ni a qué frecuencia suenan.

Paso a paso

Las dos cuerdas

El método de esta lección pela la señal como una cebolla, de la capa más rápida a la más lenta, y solo usa los picos y los valles de la propia señal. Se llama descomposición empírica en modos, y la publicó en 1998 Norden Huang, que trabajaba en el centro Goddard de la NASA, junto con ocho colegas. La palabra empírica quiere decir que no se decide de antemano qué frecuencias buscar: las capas salen de la señal que tienes delante.

El primer gesto es unir todos los máximos con una curva suave, como una cuerda tensa por encima de la onda, y todos los mínimos con otra por debajo. Esas dos curvas son las envolventes, y la línea que va justo por el medio de las dos es la parte lenta de la señal, la que la onda rápida va cabalgando. Para tensar las cuerdas hay que encontrar los picos y los valles, que no siempre son tan evidentes como parecen, porque un máximo es un punto más alto que sus dos vecinos aunque esté por debajo del cero.

Toca cada máximo y cada mínimo de la señal, o muévete entre ellos con las flechas del teclado y marca con Intro. Cuando tengas todos los de una familia aparecerá su cuerda, y cuando estén las dos, la línea del medio.

Pelar una capa: el tamizado

Restar a la señal esa línea del medio la deja más centrada, aunque todavía no del todo: al quitar la media, las envolventes cambian y la nueva línea del medio ya no es exactamente cero. Se repite, y cada vuelta se llama tamizado, como el de la harina, que deja pasar lo fino y retiene lo grueso. Cuando la línea del medio ya casi no se mueve, lo que queda es la primera capa, la más rápida, que cumple lo que Huang llamó función de modo intrínseco: tiene tantos picos y valles como cruces por el cero, o uno de diferencia, y sus dos envolventes son simétricas respecto al cero. Puede cambiar de tamaño y de velocidad, y no tiene por qué ser una onda fija.

La capa se resta de la señal y con lo que queda se vuelve a empezar, hasta que solo sobra una tendencia sin vaivenes, el residuo, que es el corazón de la cebolla. Como cada capa se resta de lo que queda, la suma de todas las capas y el residuo devuelve la señal exacta; lo que nadie garantiza es que cada capa signifique algo.

Falta saber cuándo parar, y para eso hay un criterio de parada. Si se tamiza de más, la capa pierde sus subidas y bajadas de volumen y acaba siendo una onda de tamaño constante, y el propio Huang avisaba de no pasarse. Rilling, Flandrin y Gonçalvès (2003) proponen comparar la línea del medio con el tamaño de la capa, y mucha gente se conforma con un número fijo de pasadas, unas diez, que es una costumbre más que una regla. Si a cada capa se le aplica después la señal analítica de la lección 16, su radio y su velocidad dibujan un mapa de tiempo y frecuencia, el espectro de Hilbert, y los dos pasos juntos se llaman transformada de Hilbert-Huang. En el laboratorio de esta lección dibujarás uno.

Pulsa «Tamizar» hasta que la línea del medio sea menor que el 5 % del tamaño de la capa durante al menos el 95 % del tiempo, y no pase del 50 % en ningún momento.

¿Una noria o dos?

¿Qué pasa cuando las dos norias son casi iguales? Dos notas muy cercanas, por ejemplo de 1.000 y de 1.100 Hz, suenan como una sola nota que late, es decir, como un batido. La suma no tiene entonces dos familias de picos que separar, sino una sola con el volumen subiendo y bajando, y el método hace lo mismo que el oído: se queda con una noria que late. Rilling y Flandrin titularon su estudio de 2008 «¿Una frecuencia o dos?», y es exactamente esta pregunta.

Escucha cada pareja de notas y decide si el método verá una noria que late o dos norias. Después de elegir, se enseña lo que sacó de cada una.

La regla de la octava

El límite tiene número. Con dos norias del mismo tamaño y diez pasadas de tamizado, el método solo las separa si la lenta gira a menos de unos dos tercios de la velocidad de la rápida, y en la práctica el margen cómodo es más estrecho, alrededor de la mitad, que es una octava. Rilling y Flandrin (2008) lo demostraron: por encima de ese cociente es imposible separarlas, sea cual sea la diferencia de tamaño. Y si la lenta es mucho más grande que la rápida, el límite baja todavía más. Huang reconocía en su artículo de 1998 que esta es quizá la mayor limitación del método.

Sube la noria lenta todo lo que puedas sin que la separación se estropee: el primer modo tiene que seguir pareciéndose a la noria rápida de 1.000 Hz, con un error menor del 20 %. Escucha el modo 1 mientras subes.

Cuando la lenta es mucho más grande

El tamaño también cuenta. Si la noria lenta es mucho mayor que la rápida, la mayoría de los máximos de la suma son suyos, y los de la rápida se pierden entre ellos. Un caso de investigación lo ilustra bien: un radar apuntado al pecho mide su vaivén, que lleva la respiración, lenta y grande, y encima el latido, rápido y diminuto. Según Hu y Jin (2016), el corazón desplaza el pecho unos 0,6 milímetros y la respiración, entre 12 milímetros y varios centímetros, y por eso los trabajos de este campo usan variantes mejoradas del método o filtros previos.

Aquí todo es sintético: un pecho de mentira con 72 latidos y 15 respiraciones por minuto, que es un juego y no un instrumento médico. Las velocidades están de sobra por debajo de la octava, porque el latido va unas cinco veces más deprisa que la respiración, así que el único problema es el tamaño.

Sube el tamaño de la respiración, de 0,5 a 20 veces el del latido, hasta el máximo con el que el primer modo todavía se parece al latido, con un error menor del 20 %.

La mezcla de modos y sus remedios

Queda un fallo, y es el más conocido. Cuando una oscilación aparece y desaparece, una capa termina mezclando escalas distintas: mientras suena el pitido rápido, la primera capa lo lleva, y cuando calla, esa misma capa recoge lo siguiente más rápido que encuentra, que es la onda lenta. Eso es la mezcla de modos, y Huang ya la advertía en 1998.

El remedio más conocido es la EEMD, de Wu y Huang (2009). Se hace la descomposición muchas veces, cada una sobre una copia de la señal con un ruido distinto, y se promedian las capas. El ruido pone norias de todas las velocidades por todas partes, de modo que cada escala encuentra su capa, y al promediar el ruido se anula, igual que promediar bajaba el ruido de un espectro en la lección 10. Otras alternativas cambian de estrategia: la EWT de Gilles (2013) reparte el espectro en tramos con filtros wavelet, y la VMD de Dragomiretskiy y Zosso (2014) saca todas las capas a la vez, cada una estrecha alrededor de su frecuencia, aunque hay que decirle de antemano cuántas.

Ninguna separa norias que se cruzan. La descomposición empírica se define por un algoritmo y no por un modelo matemático que garantice qué saldrá, y tampoco sabe qué es una voz o un piano: las herramientas que hoy separan la voz de una canción han aprendido de muchas canciones cómo suena cada instrumento. Para separar con garantías hay que mirar lo que el espectrograma tira a la basura, la fase, y de eso trata la lección 18.

Una onda lenta lleva dos pitidos rápidos que aparecen y desaparecen. Consigue que una capa lleve los pitidos sin colar la onda lenta (menos del 5 %) y que se parezca a los pitidos (error menor de 0,5). Prueba primero con la descomposición sola y luego con la repetida con ruido.

En tu voz

Qué grabar. El tramo de la grabación de referencia de la serie en que dos personas silban a la vez, una subiendo y otra bajando (tramo 8). Si estás solo, graba un silbido que sube y baja con el micrófono y luego otro que baje y suba, o prueba con los ejemplos sintéticos. Con el micrófono bloqueado, sube un audio grabado con el móvil.

Qué mirar. Arriba, el espectrograma de la suma, y debajo, el espectro de Hilbert: la frecuencia instantánea de cada una de las primeras capas, más gruesa cuando su volumen es mayor. Con silbidos que empiezan muy lejos, el primer modo sigue al más agudo y el segundo al más grave al principio y al final, y hacia el cruce el primero lleva los dos y suena a batido. Si en tu grabación los silbidos no se alejan más de una octava, el método no los separa en ningún momento: es su límite, no un fallo de tu grabación. Con tu «aaa», ninguna capa es tu nota: la primera se lleva los armónicos más altos y las siguientes van bajando, más o menos de octava en octava.

Lo que tienes que recordar

Un sonido real es una suma de modos, norias cuyo tamaño y velocidad cambian despacio. La descomposición empírica los pela de la capa más rápida a la más lenta usando solo los picos y los valles, y la suma de las capas y el residuo devuelve la señal exacta.
Solo separa dos norias si la lenta gira a menos de entre la mitad y los dos tercios de la velocidad de la rápida y no es mucho más grande. Más cerca, ve una sola noria que late, igual que el oído oye un batido.
Es un algoritmo sin teoría que lo respalde: mezcla los modos cuando algo aparece y desaparece, se tuerce en los bordes y depende del criterio de parada. La EEMD, la EWT y la VMD lo mejoran, pero ninguna separa norias que se cruzan, y para eso hay que mirar la fase.

Errores típicos

«Cada capa es un instrumento o una persona.» Las capas separan por escalas de oscilación. Una voz con armónicos se reparte en varias capas, y dos fuentes a menos de una octava caen en la misma.
«Un modo es una frecuencia fija.» Un modo puede cambiar de tamaño y de frecuencia, mientras no lo haga demasiado deprisa. Huang lo decía así: puede estar modulado en amplitud y en frecuencia.
«Cuantas más pasadas de tamizado, mejor.» Con demasiadas, la capa pierde sus cambios de volumen y se queda en una onda de tamaño constante. Hay que parar con un criterio.
«Separa cualquier par de notas distintas.» Solo si la lenta va a menos de entre la mitad y los dos tercios de la rápida y no es mucho más fuerte. Con 1.000 y 1.300 Hz no las separa nunca.
«El primer modo es el ruido y se tira.» El primer modo es lo más rápido que hay en la señal. Puede ser ruido o puede ser lo que buscas, como el latido del ejemplo del radar.

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Rincón matemático

Las fórmulas, para quien las quiera. Cada una va después de su lectura en palabras.

El modelo

La señal es una suma de norias, cada una con un radio y una velocidad que cambian despacio, más una tendencia:

x(t) = \sum_{k=1}^{K} a_k(t)\,\cos\theta_k(t) + r(t), \qquad f_k(t) = \frac{\theta_k'(t)}{2\pi}

Las dos condiciones de un modo

Un modo tiene tantos extremos como cruces por cero, o uno de diferencia, y la media de sus dos envolventes es cero:

\left|N_{\text{extremos}} - N_{\text{ceros}}\right| \le 1, \qquad m(t) = \frac{e_{\max}(t) + e_{\min}(t)}{2} = 0

Una pasada de tamizado

A lo que tienes, réstale la media de sus dos envolventes:

h_{j+1}(t) = h_j(t) - \frac{e_{\max}^{(j)}(t) + e_{\min}^{(j)}(t)}{2}

Cuándo parar: el criterio de Huang

Se compara cada pasada con la anterior y se para cuando el cambio relativo acumulado baja de un valor típico entre 0,2 y 0,3:

\mathrm{SD} = \sum_{t} \frac{\left|h_{k-1}(t) - h_k(t)\right|^2}{h_{k-1}^2(t)}

Cuándo parar: los dos umbrales

La media tiene que ser pequeña comparada con el tamaño del modo: menor que un umbral pequeño casi todo el tiempo y menor que otro mayor en todo momento (Rilling, Flandrin y Gonçalvès, 2003, con valores típicos de 0,05 para el primero, 0,5 para el segundo y 0,05 para la fracción de tiempo que se perdona):

a(t) = \frac{e_{\max}(t) - e_{\min}(t)}{2}, \qquad \sigma(t) = \left|\frac{m(t)}{a(t)}\right|, \qquad \sigma < \theta_1 \ \text{en}\ (1-\alpha)\ \text{del tiempo}, \quad \sigma < \theta_2 \ \text{siempre}

La descomposición completa

Cada modo se quita de lo que queda y al final todo suma la señal:

x(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) + r_n(t)

El espectro de Hilbert

A cada modo se le calcula su señal analítica, y su radio y su velocidad dibujan el mapa de tiempo y frecuencia:

c_i(t) + i\,\mathcal{H}[c_i](t) = a_i(t)\,e^{i\theta_i(t)}, \qquad f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\,\frac{d\theta_i}{dt}

Dos norias y su límite

Con una noria rápida de tamaño 1 y otra lenta de tamaño a y velocidad relativa f:

x(t) = \cos 2\pi t + a\,\cos(2\pi f t + \varphi), \qquad 0 < f < 1

Los extremos de la suma son los de la rápida si a f es menor que 1, y los de la lenta si a f^2 es mayor que 1. Con diez pasadas, por encima de f \approx 0{,}67 no hay separación, sea cual sea a (Rilling y Flandrin, 2008):

a f < 1 \Rightarrow \text{extremos de la rápida}, \qquad a f^2 > 1 \Rightarrow \text{extremos de la lenta}

La EEMD

Cada modo final es la media de los modos de I copias con ruido distinto, y el ruido que queda baja con la raíz de I:

\mathrm{IMF}_k = \frac{1}{I}\sum_{i=1}^{I}\mathrm{IMF}_k\!\left[x + w_i\right], \qquad \text{ruido residual} \propto \frac{\varepsilon}{\sqrt{I}}

La VMD

Busca K modos que sumen la señal y que, bajados a frecuencia cero alrededor de su centro, cambien lo menos posible (Dragomiretskiy y Zosso, 2014):

\min_{\{u_k\},\{\omega_k\}} \sum_{k} \left\| \partial_t\!\left[\left(\delta(t) + \frac{i}{\pi t}\right) * u_k(t)\right] e^{-i\omega_k t} \right\|_2^2 \quad \text{sujeto a} \quad \sum_k u_k = x

Para saber más

Artículo abierto · inglésRilling, G. y Flandrin, P. (2008). One or two frequencies? The empirical mode decomposition answers. El estudio de cuándo separa el método dos tonos, con las figuras de las zonas en que lo consigue y en que no.
Artículo abierto · inglésRilling, G., Flandrin, P. y Gonçalvès, P. (2003). On empirical mode decomposition and its algorithms. Cinco páginas con el tamizado, los bordes y el criterio de parada de los dos umbrales.
Documentación · inglésDocumentación del paquete emd de Python, «The sift in detail». El tamizado paso a paso, con las envolventes dibujadas.
Artículo abierto · inglésTorres, M. E., Colominas, M. A., Schlotthauer, G. y Flandrin, P. (2011). A complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise. Explica la mezcla de modos y la EEMD en cuatro páginas.
Artículo abierto · inglésDragomiretskiy, K. y Zosso, D. (2013). Variational mode decomposition (versión previa, UCLA CAM 13-22). La alternativa con teoría: todas las capas a la vez.
Artículo abierto · inglésHu, X. y Jin, T. (2016). Short-Range Vital Signs Sensing Based on EEMD and CWT Using IR-UWB Radar, Sensors. El radar que ve latido y respiración, con las cifras de desplazamiento del pecho.