La relación señal-ruido
Se compara la potencia de la señal con la del ruido y se da en decibelios. Con amplitudes eficaces, el factor es 20 en lugar de 10 porque la potencia va con el cuadrado de la amplitud:
\mathrm{SNR}_{\mathrm{dB}} = 10\,\log_{10}\frac{P_s}{P_n} = 20\,\log_{10}\frac{A_s}{A_n}
La densidad espectral de potencia
Dice cuánta potencia hay por hercio, y la potencia de una banda es el área bajo la curva entre sus dos frecuencias:
P_{[f_1,\,f_2]} = \int_{f_1}^{f_2} S(f)\,\mathrm{d}f
El ruido blanco
Un ruido es blanco cuando su densidad es constante, y eso equivale a que cada muestra no tenga nada que ver con las demás: su autocorrelación, de la lección 9, solo vale algo en el desfase cero. Con la varianza \sigma^2 y la delta de Kronecker \delta:
S(f) = \text{constante} \quad\Longleftrightarrow\quad r[\ell] = \sigma^2\,\delta[\ell]
Los colores como potencias de la frecuencia
La densidad de los ruidos de color cae como una potencia de la frecuencia. En decibelios por octava, la pendiente vale menos diez veces \beta por el logaritmo de 2: cero para el blanco (\beta = 0), -3{,}01 para el rosa (\beta = 1), -6{,}02 para el marrón (\beta = 2), y +3{,}01 y +6{,}02 para el azul y el violeta (\beta = -1 y \beta = -2):
S(f) = \frac{C}{f^{\beta}}, \qquad \text{pendiente} = -10\,\beta\,\log_{10}2 \approx -3{,}01\,\beta \ \text{dB por octava}
La energía de una octava
La energía de una octava es el área bajo la densidad entre una frecuencia f y su doble. En el blanco crece con f (se duplica por octava), en el rosa es siempre la misma y en el marrón se reduce a la mitad por octava:
\int_{f}^{2f} \frac{C}{x^{\beta}}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} C\,f & \beta = 0 \\ C\,\ln 2 & \beta = 1 \\ \dfrac{C}{2f} & \beta = 2 \end{cases}
El paseo aleatorio
En el ruido marrón, cada muestra es la anterior más un paso al azar w[n]. Lejos de la mitad de la frecuencia de muestreo, su densidad cae como el inverso del cuadrado de la frecuencia:
y[n] = y[n-1] + w[n] \;\Longrightarrow\; S_y(f) = \frac{\sigma^2}{4\,\sin^2(\pi f/f_s)} \approx \frac{\sigma^2 f_s^2}{4\pi^2 f^2} \quad (f \ll f_s)
Promediar repeticiones
Si cada repetición es la misma señal s más un ruido distinto de desviación \sigma, el promedio conserva s y divide el ruido por la raíz de N. La relación señal-ruido en potencia mejora N veces, que son 10\,\log_{10} N decibelios:
\bar{x}[n] = s[n] + \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} w_k[n], \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
El periodograma
Es el espectro de un solo trozo, con su ventana w[n]. Para ruido gaussiano, cada valor fluctúa tanto como su propia media (sigue una exponencial), y eso no mejora con la longitud del trozo: son unos 5,6 dB de desviación.
P(f) = \frac{1}{f_s \sum_n w[n]^2}\,\Big|\sum_{n} w[n]\,x[n]\,e^{-j2\pi f n/f_s}\Big|^2
El método de Welch
Promedia K periodogramas de trozos con ventana. La desviación relativa baja como uno entre la raíz de K y, en decibelios, queda en unos 4,34 entre la raíz de K:
\hat{S}_W(f) = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} P_k(f), \qquad \sigma_{\mathrm{dB}} \approx \frac{10}{\ln 10}\cdot\frac{1}{\sqrt{K}} \approx \frac{4{,}34}{\sqrt{K}}
El ruido térmico y la temperatura de ruido
Un conductor a la temperatura T da una potencia de ruido proporcional a T y al ancho de banda B, con la constante de Boltzmann k. Por eso un ruido se puede medir como una temperatura. A 290 K, kT vale unos 4{,}0\cdot 10^{-21} vatios por hercio, que son unos -174 dBm por hercio:
P = k\,T\,B, \qquad kT\big|_{290\,\mathrm{K}} \approx 4{,}0\cdot 10^{-21}\ \mathrm{W/Hz} \approx -174\ \mathrm{dBm/Hz}, \qquad T_A = \frac{P}{k\,B}
Las cuentas de Penzias y Wilson
Lo que sobra es lo que queda al restar del total medido las contribuciones conocidas:
T_{\text{exceso}} = 6{,}7 - 2{,}3 - 0{,}8 - 0{,}1 \approx 3{,}5\ \mathrm{K}