La DFT
El coeficiente número k de la DFT es el área del producto de la señal por la noria de prueba número k, con N muestras:
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-i 2\pi k n / N}, \qquad k = 0, 1, \dots, N-1
La rejilla de frecuencias
La noria de prueba número k da k vueltas en el trozo; su frecuencia es k veces la frecuencia de muestreo dividida entre N, y las barras están separadas uno dividido entre la duración T del trozo:
f_k = \frac{k\,f_s}{N}, \qquad \Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{1}{T}
El batido
Dos senos casi iguales suman una nota intermedia multiplicada por un coseno lento, de frecuencia la mitad de la diferencia. El volumen es el valor absoluto de ese coseno, que llega a su máximo dos veces por ciclo, así que el oído cuenta tantos latidos por segundo como hercios de diferencia:
\sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t) = 2\cos\!\left(2\pi\,\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\right)\sin\!\left(2\pi\,\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\right), \qquad f_{\text{batido}} = |f_1 - f_2|
Cortar un trozo es poner una ventana
Cortar un trozo equivale a multiplicar la señal por una ventana, y el espectro del trozo es el de la señal emborronado por el de la ventana (la barra * es la convolución de la lección 7):
x_w[n] = x[n]\,w[n] \quad\Longrightarrow\quad X_w(f) = (X * W)(f)
La ventana de Hann
La ventana de Hann es una campana de coseno que empieza y acaba en cero; esta es la versión periódica, la adecuada para la DFT:
w[n] = \tfrac{1}{2}\left(1 - \cos\frac{2\pi n}{N}\right), \qquad n = 0, \dots, N-1
Cuánto hay que mirar para separar dos picos
Para separar dos picos, la ventana debe abarcar unos K periodos de la frecuencia diferencia. Una condición suficiente es K = 2 con la ventana rectangular y K = 4 con la de Hann (Smith, Spectral Audio Signal Processing); con el criterio de los retos, un valle de al menos 3 dB, salen unos 1,5 y unos 2,4:
T \ge \frac{K}{|f_2 - f_1|}
El relleno con ceros
Rellenar con ceros hasta L muestras solo toma más puntos de la misma curva continua, la del espectro del trozo con ventana:
X_{\text{relleno}}[k] = X_w\!\left(\frac{k\,f_s}{L}\right), \qquad L > N
Decibelios
En decibelios, una razón de amplitudes se mide con 20 veces su logaritmo decimal, y una de potencias, con 10 veces:
L_{\text{dB}} = 20\log_{10}\frac{A}{A_{\text{ref}}} = 10\log_{10}\frac{P}{P_{\text{ref}}}
La FFT
La FFT parte la DFT en la de las muestras pares, E, y la de las impares, O, y las recombina con un giro:
X[k] = E[k] + e^{-i 2\pi k/N}\,O[k], \qquad X[k + N/2] = E[k] - e^{-i 2\pi k/N}\,O[k]
Repetirlo hasta llegar a trozos de una muestra lleva a un coste de unas (N/2)\log_2 N multiplicaciones complejas en lugar de las N^2 de la definición:
N^2 \;\longrightarrow\; \tfrac{N}{2}\log_2 N