La convolución: cada sonido deja su eco

Un sello por cada palito

Da una palmada en el salón y otra en el baño. La del salón se apaga enseguida y la del baño se queda sonando, como una cola que va muriendo, porque el sonido rebota en las paredes duras y llega a tus oídos una y otra vez, cada vez más flojo. Esa cola no depende de cómo des la palmada: es una característica de la sala. Un impulso es un sonido tan breve que casi no le da tiempo a tener forma, un palito solo, y el más corto del audio digital es una sola muestra; una palmada se le parece, un globo que revienta todavía más. Lo que la sala devuelve ante un impulso, su huella, es la respuesta al impulso, y es exactamente el sello de la imagen.

Que esa huella baste para saber qué hará la sala con cualquier sonido se debe a dos reglas. La primera es que, si das la palmada el doble de fuerte, la cola sale el doble de fuerte, y que si juntas dos sonidos, la sala responde a cada uno por su lado y suma las respuestas. La segunda es que, si das la palmada un segundo más tarde, sale la misma cola un segundo más tarde, porque la sala no cambia con el tiempo. Un sistema que cumple las dos es un sistema lineal e invariante, y lo son, al menos de forma aproximada, las salas, los filtros de la lección 6, las lentes y la media móvil. Con esas dos reglas, tu voz es una fila de palitos y la sala responde a cada palito con su sello.

La huella de una sala

La respuesta al impulso de una sala se ve a simple vista: un golpe al principio, algunas reflexiones tempranas contra las paredes más cercanas y una cola que se apaga. Lo que distingue un salón de un baño o de una catedral es sobre todo cuánto tarda en apagarse. Esa cola es la reverberación, y se mide con el tiempo de reverberación, el T60: lo que tarda en bajar 60 dB, los decibelios de la lección 5, que es llegar a la millonésima parte de la potencia.

Para ponerle a tu voz la huella de una catedral hace falta su respuesta al impulso, y para tenerla hay que medirla. Los acústicos usan un golpe breve y fuerte, como una pistola de fogueo o un globo que revienta, o un barrido de tonos que sube por un altavoz y que luego se deshace con un cálculo; el barrido es lo más preciso y el golpe, lo más práctico. Tu palmada es la versión casera: imperfecta, pero suficiente para oír la idea. En los estudios, la reverberación por convolución llegó como aparato en 1999, con el Sony DRE-S777, que la revista Sound On Sound presentó como el primer reverberador comercial por convolución en tiempo real, y como programa en 2001, con Altiverb, según su propio fabricante.

Cuánto puede durar una cola lo dice el récord de Guinness: 75 segundos, medidos en 2012 en un tanque de petróleo abandonado en Inchindown, en Escocia, con una pistola de fogueo. Guinness lo llama «eco», pero es reverberación.

El eco, el sello más sencillo

El sello más sencillo que se puede imaginar tiene solo dos palitos: uno en el instante cero, que es el sonido directo, y otro más flojo y más tarde, que es una copia. Eso es un eco de montaña: tu voz sale, y un rato después vuelve, más débil. Convolucionar con ese sello suma tu voz con una copia de ella misma, retrasada y más flojita. Una sala es lo mismo, pero con miles de palitos, uno por cada reflexión posible, y por eso un eco claro se oye como un eco y una sala con miles de ellos, como una cola continua.

La convolución no distingue quién es la voz y quién es la sala: da lo mismo meter la voz en el sello que meter el sello en la voz. Es lo que aprovechan algunos programas de reverberación, que admiten como «sala» cualquier sonido, por ejemplo un acorde de piano.

La media móvil, otra vez

En la lección 6 la media móvil era el filtro más sencillo de todos: sustituir cada dato por la media de los últimos N. Vista con sellos es un rectángulo: cada palito de la entrada estampa N palitos iguales, de altura 1/N, y la salida es la suma de todos ellos. Cuanto más largo es el sello, más muestras se promedian y más baja el ruido aleatorio, que lo hace con la raíz cuadrada de N. A cambio, un salto se emborrona: tarda en subir tantas muestras como mide el sello.

Las fotos también tienen sello

En una foto desenfocada, cada punto de luz se ha convertido en un disco; si se movió la cámara, en una raya, y con la turbulencia del aire, en una mancha suave. Ese sello de luz se llama función de dispersión de punto, y la foto borrosa es la suma de los sellos de todos sus puntos, igual que la salida de una sala es la suma de las colas de todos los sonidos. La única diferencia es que el sello tiene dos dimensiones y los palitos son píxeles.

En 1990, el telescopio Hubble mandó fotos borrosas porque el borde de su espejo principal era 2 micras demasiado plano, según la ESA. Como se conocía el sello que dejaba cada estrella, los astrónomos intentaron despegarlo con cálculos, y a eso se le llama deconvolución: deshacer la convolución para recuperar la imagen original. Funcionó solo a medias, porque donde el sello borra algo esa información se ha perdido, y al intentar recuperarla el ruido se dispara. La solución definitiva llegó en diciembre de 1993, con unos espejos correctores instalados por astronautas.

Sumar sellos es multiplicar espectros

Hay un puente entre esta lección y la anterior. Cuando el ecualizador multiplicaba el espectro por una curva, lo hacía en frecuencia, y cuando una sala suma sellos, lo hace en el tiempo, pero son la misma operación vista de dos maneras. El teorema de la convolución dice que convolucionar en el tiempo es multiplicar los espectros, de modo que la respuesta en frecuencia de un filtro es el espectro de su sello. Por eso una sala no puede crear notas: solo sube, baja y retrasa las que ya había. Si aparecen frecuencias nuevas, hay algo que no es lineal, como una saturación.

También explica por qué un eco es un filtro. Un sello de dos palitos suma la señal con una copia retrasada, y esa suma refuerza las frecuencias en las que la copia llega en fase con el original y apaga aquellas en las que llega a contrafase, lo que dibuja en frecuencias un peine. El puente tiene además un uso práctico: estampar sellos a mano es carísimo, porque con un sello de 2 s a 48.000 muestras por segundo cada muestra de salida pide 96.000 multiplicaciones, unos 4.600 millones por segundo y por canal. Por eso los programas de reverberación pasan a frecuencias con la FFT de la lección 5, multiplican y vuelven.