Nivel 3 · Lección 6

Filtros: quedarte con lo que importa

La idea en una imagen

Un ecualizador de cinco mandos sobre una música sintética. Arriba, la curva naranja que unen los mandos: dice por cuánto se multiplica cada frecuencia. En medio, el espectro de la música, tenue antes de pasar por el ecualizador y vivo después. Abajo, la onda, tenue antes y verde después, que cambia de forma porque ya no lleva las mismas norias.

Un ecualizador es un filtro, y su funcionamiento cabe en una imagen: una fila de mandos, uno por cada franja de frecuencias, y cada mando multiplica por un número las norias de su franja. Si subes el de los graves, crecen las norias lentas, y si bajas el de los agudos, se encogen las rápidas. Por la lección 4 sabes que el espectro cuenta cuánto hay de cada noria, así que filtrar es moldear ese espectro.

Mueve los mandos y fíjate en dos cosas a la vez. El espectro cambia justo lo que dice la curva: donde la curva sube, sube el espectro, y donde baja, baja. Y la onda de abajo, que es lo que de verdad llega al altavoz, cambia de forma, porque una onda con menos graves o con menos agudos es otra suma de norias. La regla se aplica frecuencia a frecuencia, pero el resultado se ve y se oye en el tiempo.

Paso a paso

Un mando para cada franja

Cada mando del ecualizador lleva un número, la ganancia, que se mide en los decibelios de la lección 5: 6 dB más duplican la altura de las norias de su franja, 6 dB menos la dejan en la mitad y con 0 dB no cambia nada. Subir el mando de los graves es multiplicar por un número mayor que uno las norias lentas, y bajar el de los agudos, multiplicar por un número menor que uno las rápidas.

La línea que une los mandos es la respuesta en frecuencia del filtro, y es toda la información que hace falta para describirlo, porque dice, para cada frecuencia, por cuánto se multiplica. Filtrar es multiplicar el espectro de la señal por esa curva, frecuencia a frecuencia, y lo que sale por el altavoz es la señal cuyo espectro es ese producto.

Consigue que la música suene como en una radio vieja: arrastra los puntos naranjas hasta que tu curva tape a la discontinua.

Cada punto es un mando: arrástralo hacia arriba o hacia abajo, o toca cerca de él. Con el teclado, pulsa sobre el lienzo con el tabulador, elige mando con las flechas izquierda y derecha y muévelo con las de arriba y abajo.

Cuatro formas de curva

Con ese mismo ecualizador se puede dibujar casi cualquier filtro, y los más comunes tienen nombre según la forma de su curva. El que deja pasar lo grave y frena lo agudo es un paso bajo, y tienes uno en casa: una pared deja pasar mejor los graves que los agudos, y por eso de la música del vecino te llega sobre todo el bajo y su voz suena apagada. El contrario, que quita lo lento y deja pasar lo rápido, es un paso alto, y sirve para eliminar el retumbar de un golpe en el micrófono o la deriva de una línea que sube y baja despacio.

Si solo se deja pasar una franja, el filtro es un paso banda, como el de la voz de teléfono que verás enseguida. Y si solo se quita una franja estrecha y se deja pasar todo lo demás, es una banda eliminada, también llamada muesca, que es la herramienta contra el zumbido de la red eléctrica.

Escucha un sonido y elige la curva del filtro por el que ha pasado. Todos son la misma frase. Consigue tres aciertos seguidos.

La voz de teléfono

Durante décadas, la red telefónica digital ha garantizado una respuesta casi plana entre unos 300 y 3.400 Hz, con 8.000 muestras por segundo. Fuera de esa franja la norma ya no promete nada: por arriba se corta para que el muestreo no se engañe, porque con 8.000 muestras por segundo no cabe nada por encima de 4.000 Hz, como viste en la lección 2, y por abajo cada operador decide. Es un paso banda, y se oye: buena parte de la energía de la «s» y de la «f» está por encima de 3.400 Hz, y al teléfono clásico le llega tan poca que cuesta distinguirlas.

Lo curioso es que el tono de la voz se sigue oyendo. La fundamental de la mayoría de las voces adultas, al hablar, está por debajo de 300 Hz y el teléfono clásico apenas la deja pasar, pero reconoces si la voz es grave o aguda, porque tu cerebro deduce la nota a partir de los armónicos, que sí llegan. Son las norias de la lección 3: una pila de velocidades que son múltiplos de la fundamental.

La voz HD de los móviles amplía la franja a 50–7.000 Hz, y los códecs más modernos, como EVS, llegan hasta 20.000 Hz cuando la red y los dos teléfonos lo permiten.

Convierte esta voz en una llamada de las de antes: arrastra las dos asas del filtro hasta dejar pasar justo la franja que dejaba pasar el teléfono.

Arrastra cada asa a izquierda o derecha, o toca cerca de ella. Con el teclado, pulsa sobre el lienzo con el tabulador, cambia de asa con las flechas de arriba y abajo y muévela con las de izquierda y derecha.

El zumbido

La red eléctrica se cuela en las grabaciones como un zumbido de 50 Hz en Europa y de 60 Hz en buena parte de América. No es una raya sola, sino la frecuencia de la red y sus múltiplos, y a veces el más fuerte es el de 100 Hz, según de dónde venga el zumbido. Por eso una muesca en 50 Hz no basta: los 100 y los 150 Hz siguen ahí, y hace falta una muesca en cada uno.

Una muesca estrecha quita el zumbido casi sin tocar la voz, porque la voz no tiene nada justo en esas frecuencias. El precio de ser estrecha es que tarda en asentarse, y cuanto más fina, más tarda: las muy finas necesitan varios cientos de milisegundos para hacer todo su efecto.

El mismo problema aparece en un electrocardiógrafo, donde los 50 Hz de la red caen en mitad de la banda de la señal del corazón. Allí un filtro mal elegido no solo quita ruido, sino que puede deformar el dibujo, y por eso las recomendaciones de 2007 para el electrocardiograma piden que el aparato deje pasar desde 0,05 Hz hasta al menos 150 Hz en adultos. En este curso, el electrocardiograma es solo un ejemplo de señal: lo que cuenta es cómo se filtra, no lo que dice.

Consigue que el zumbido baje al menos 30 dB sin tocar la voz. Toca los picos del espectro para ponerles una muesca; tienes cuatro.

Los picos rojos son el zumbido y los amarillos, la voz. Toca un pico para poner una muesca y vuelve a tocarlo para quitarla. Con el teclado, pulsa sobre el lienzo con el tabulador, recorre los picos con las flechas izquierda y derecha y pon o quita la muesca con la tecla Intro.

Corte y pendiente

Un filtro no corta en seco. La frecuencia de corte es el punto donde ya ha bajado la potencia a la mitad, que son unos 3 dB menos, y a partir de ahí la curva sigue cayendo con una pendiente que depende del orden del filtro. En el filtro de Butterworth, de 1930, que se diseñó para ser lo más plano posible en la banda que deja pasar, cada orden añade unos 6 dB de caída por octava, y una octava es subir al doble la frecuencia.

Un orden bajo es una rampa suave y un orden alto, un acantilado. Para separar dos notas que están a una octava hace falta un acantilado, pero tiene un precio: cuanto más abrupto es un filtro, más retrasa la señal, más tarda en asentarse y más puede deformar la onda, como verás en la lección 8.

Deja pasar casi entera la nota de 1.000 Hz y hunde el pitido de 2.000 Hz por debajo de −40 dB. Tienes dos mandos: el corte y el orden.

La media móvil

El filtro más sencillo de todos no necesita saber nada de frecuencias: cada dato se sustituye por la media de los últimos N. Es la media móvil, y las gráficas de la pandemia la usaron a diario. En 2020, los casos diarios subían y bajaban cada semana, porque el fin de semana se hacían y se notificaban menos pruebas, y la media de 7 días borraba ese diente de sierra.

Funciona porque una media de 7 días contiene siempre un lunes, un martes, un miércoles y así hasta el domingo, de modo que cualquier cosa que se repita exactamente cada semana la ve entera, con sus altos y sus bajos compensados. En general, una media móvil de N muestras borra por completo todo lo que da un número entero de vueltas en N muestras. Tiene, eso sí, dos peros. Si se calcula con el día de hoy y los seis anteriores, describe lo que pasaba hace tres días, de modo que la curva llega con tres días de retraso; se puede centrar la media, pero entonces hacen falta los datos de los tres días siguientes. Y para limpiar ruido aleatorio sin emborronar los saltos es el mejor filtro posible, pero para separar una frecuencia de otra es de los peores, según Steven Smith en su libro sobre procesamiento de señales.

En España se hablaba de la incidencia a 14 días: los casos de las dos últimas semanas por cada 100.000 habitantes, que figuraba entre los indicadores principales del Ministerio de Sanidad. Es una suma móvil, el mismo filtro con una ventana de 14 días, y por eso tampoco tenía dientes de fin de semana.

Estos son los casos diarios, sintéticos, de una ola con ritmo semanal. Consigue una curva sin dientes que marque el pico el día que de verdad ocurrió, el día 70.

En tu voz

Qué grabar. La frase de la grabación de referencia (el tramo 5) y, por separado, unos segundos de silencio de la habitación (el tramo 1). Graba con el micrófono si tu navegador lo deja; si no, sube un audio grabado con el móvil o prueba con los ejemplos sintéticos, uno de ellos con zumbido.

Qué mirar. Pasa tu frase por el teléfono clásico: se entiende, suena «enlatada», la «s» pierde siseo y el tono sigue ahí aunque falte la fundamental. Pásala por la pared y verás que la voz queda apagada y cuesta entender las palabras. Con el silencio de tu habitación, el laboratorio busca rayas finas en 50 o 60 Hz y en sus múltiplos; si las hay, propone una muesca para cada una y mide cuánto baja el zumbido. Con el micrófono de un móvil lo más normal es que no haya ninguna, y entonces te lo dice y te deja probar con el ejemplo.

Lo que tienes que recordar

  1. Un filtro multiplica cada frecuencia por un número, y la curva de esos números es su respuesta en frecuencia. Paso bajo, paso alto, paso banda y banda eliminada son cuatro formas de esa curva.
  2. Un filtro no corta en seco: la frecuencia de corte es donde la potencia baja a la mitad, y la pendiente depende del orden. Lo abrupto tiene un precio, porque retrasa más y deforma más.
  3. La media móvil es el filtro más sencillo: borra todo lo que cabe un número entero de veces en su ventana y, a cambio, retrasa la curva. Un filtro solo separa lo que ocupa frecuencias distintas.

Errores típicos

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Rincón matemático

Las fórmulas, para quien las quiera. Cada una va después de su lectura en palabras.

Filtrar es multiplicar

Filtrar es multiplicar, frecuencia a frecuencia, el espectro de la entrada X(f) por la respuesta del filtro H(f):

Y(f) = H(f)\,X(f)

Ganancia y frecuencia de corte

La ganancia en decibelios es veinte veces el logaritmo del tamaño de la respuesta, y la frecuencia de corte es donde la potencia baja a la mitad, es decir, unos 3 dB:

G(f) = 20\,\log_{10}|H(f)|, \qquad |H(f_c)| = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \;\Longleftrightarrow\; G(f_c) \approx -3\ \text{dB}

El filtro de Butterworth

El paso bajo de Butterworth de orden n es plano en la banda de paso y, lejos del corte, cae unos 6 dB por octava por cada orden:

|H(f)|^2 = \frac{1}{1 + (f/f_c)^{2n}}

El paso alto es el mismo dibujo dado la vuelta: frena lo que está por debajo del corte.

|H(f)|^2 = \frac{1}{1 + (f_c/f)^{2n}}

A k octavas por encima del corte, el paso bajo atenúa, en decibelios:

A_k = 10\,\log_{10}\!\left(1 + 4^{\,nk}\right) \approx 6\,n\,k\ \text{dB}

La media móvil

La media móvil hacia atrás suma las N últimas muestras y divide entre N:

y[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} x[n-k]

Su respuesta tiene ceros donde una vuelta entera cabe un número exacto de veces en N muestras, y retrasa la señal (N-1)/2 muestras:

|H(f)| = \left|\frac{\sin(\pi f N / f_s)}{N\,\sin(\pi f / f_s)}\right|, \qquad H(f) = 0 \ \text{ si } f = m\,\frac{f_s}{N},\; m = 1, 2, \dots

El ruido aleatorio que sale es raíz de N veces más pequeño que el que entra:

\sigma_y = \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}}

La muesca

Una muesca pone dos ceros justo en la frecuencia del zumbido y dos polos muy cerca, por dentro, para que el hueco sea estrecho; cuanto más cerca de 1 está r, más estrecha es la muesca. Los polos y los ceros se explican en la lección 8.

H(z) = \frac{1 - 2\cos\omega_0\, z^{-1} + z^{-2}}{1 - 2r\cos\omega_0\, z^{-1} + r^2 z^{-2}}, \qquad \omega_0 = \frac{2\pi f_0}{f_s},\; r \lesssim 1

Un adelanto

Multiplicar en frecuencia equivale, en el tiempo, a una convolución con la respuesta al impulso del filtro, y de ahí sale la lección 7:

Y(f) = H(f)\,X(f) \;\Longleftrightarrow\; y[n] = \sum_k h[k]\, x[n-k]

Para saber más

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