La pregunta a la noria de prueba
La pregunta a la noria de prueba de frecuencia f se hace con sus dos sombras: se multiplica la señal por el seno y por el coseno de esa frecuencia, se suma el producto durante el tiempo T que dura el trozo y se normaliza para que una noria de tamaño 1 que gira igual dé área 1:
S(f) = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\,\sin(2\pi f t)\,dt, \qquad C(f) = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\,\cos(2\pi f t)\,dt
Tamaño y punto de partida
Si la señal es una sola noria A\,\sin(2\pi f t + \varphi), con la altura medida como en la lección 1, y la prueba gira igual y da vueltas completas en el trozo, las dos áreas valen:
S = A\,\cos\varphi, \qquad C = A\,\sin\varphi
De ahí salen el tamaño, por Pitágoras, y el punto de partida, por el ángulo del triángulo que forman las dos áreas:
A = \sqrt{S^2 + C^2}, \qquad \varphi = \operatorname{atan2}(C,\ S)
Ortogonalidad
Dos norias cuyas velocidades son números enteros de vueltas en el tiempo T se anulan al multiplicarse, y con la misma velocidad dan 1 una vez normalizadas. Se escribe, con m y n enteros positivos:
\frac{2}{T}\int_0^T \sin\!\left(\frac{2\pi m t}{T}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)dt = \begin{cases} 1 & m = n \\ 0 & m \neq n \end{cases}
La noria compleja
Las dos sombras juntas forman una sola noria que gira en sentido contrario, y el resultado de la pregunta es un número complejo cuyo tamaño y ángulo llevan la magnitud y la fase:
X(f) = \int_0^T x(t)\,e^{-i 2\pi f t}\,dt = \frac{T}{2}\,(C - i\,S)
Como aquí la altura se mide con el seno, la fase que sale de esta fórmula queda un cuarto de vuelta desplazada respecto a la de la lección. Es solo un cambio de origen: el módulo, el tamaño de la noria, es el mismo.
La transformada de Fourier y su inversa
La transformada mira la señal entera, de menos infinito a infinito, y su inversa vuelve a sumar las norias, cada una con su tamaño y su punto de partida:
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-i 2\pi f t}\,dt, \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f)\,e^{\,i 2\pi f t}\,df
Con muestras
Con N muestras, la noria de prueba solo se mira en los instantes de las muestras (la lección 5 lo desarrolla), y el tamaño de cada noria se recupera multiplicando por 2/N:
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-i 2\pi k n / N}, \qquad A_k \approx \frac{2}{N}\,\big|X[k]\big|
Las notas del piano
En un piano afinado en temperamento igual, cada tecla multiplica la frecuencia por la raíz duodécima de 2. Contando m semitonos desde el La de 440 Hz:
f = 440\cdot 2^{m/12}\ \text{Hz} \qquad (\text{Do}_4:\ m=-9 \Rightarrow 261{,}63\ \text{Hz})
El mapa de la cóclea
Según el modelo de Greenwood (1990), la frecuencia a la que mejor responde un punto de la membrana situado a una fracción x de su longitud, contada desde el vértice, es:
f(x) = 165{,}4\left(10^{\,2{,}1\,x} - 0{,}88\right)\ \text{Hz}
Lo que miden los filtros del oído
El ancho equivalente de los filtros del oído (Glasberg y Moore, 1990) crece con la frecuencia, que aquí va en kHz. A 1 kHz da unos 133 Hz:
\mathrm{ERB}(f) = 24{,}7\,\big(4{,}37\,f + 1\big)\ \text{Hz}