Nivel 1 · Lección 3

La receta de un sonido: sumar norias

La idea en una imagen

Norias montadas unas sobre otras, cada una clavada en la cabina de la anterior. La cabina de la última, el punto verde, sube y baja a la vez por el movimiento de todas, y la curva verde de la derecha apunta su altura con el paso del tiempo. La noria naranja es la última que has añadido.

Esta cadena de norias es la imagen de toda la lección. La primera noria es grande y lenta, la siguiente es más pequeña y gira el doble de rápido, la siguiente es más pequeña aún y gira el triple, y así sucesivamente. La altura de la cabina final es la suma de las alturas de todas, y la curva que apunta es una onda que ninguna de ellas dibujaría sola.

Empieza con una sola noria y ve añadiendo. Con la forma «cuadrada» verás cómo la curva, que al principio es una onda redonda, se va enderezando hasta parecerse a un escalón que sube y baja. Si escuchas el sonido de cada suma, notarás que cada noria nueva le da algo de brillo.

Paso a paso

Sumar es apilar alturas

En la lección 1, una onda era la altura de la cabina de una noria apuntada instante a instante. Si hay dos norias girando a la vez y quieres saber qué onda hacen juntas, sumas la altura de una cabina y la de la otra en cada instante: eso es la superposición. Lo que se suma son las alturas. Una noria de 100 vueltas por segundo más otra de 300 no dan una de 400, sino una curva que contiene las dos.

Cuando las dos norias giran a la misma velocidad, la suma es otra noria de esa velocidad, y su tamaño depende de lo desfasadas que vayan. Si las cabinas van siempre a la par, las alturas se suman y la noria resultante mide el doble. Si una va un cuarto de vuelta por detrás de la otra, mide 1,41 veces una de ellas. Y si una sube justo lo que baja la otra, las alturas se compensan y la suma se queda en cero. Reforzarse o anularse de esta manera es la interferencia, y es el principio de los auriculares con cancelación de ruido.

Hay dos norias que giran a la vez: la de tinta es fija y la naranja la manejas tú. Arrastra la cabina naranja, con el dedo o las flechas del teclado, hasta que la suma se quede quieta en cero.

Una noria sobre otra

Hasta aquí las dos norias estaban cada una en su sitio. Imagina ahora que la segunda no está en el suelo, sino clavada en la cabina de la primera: gira con ella y, además, da sus propias vueltas. La cabina de la segunda ya no dibuja un círculo, sino flores, estrellas o bucles, según lo rápido que gire cada noria. A una noria montada sobre otra se le llama epiciclo.

Los astrónomos griegos explicaban el ir y venir de los planetas con círculos que giraban montados sobre otros círculos. Ptolomeo los usó a fondo en el siglo II. Muchos siglos después, las matemáticas de Fourier dieron la razón de fondo: con suficientes círculos se puede aproximar cualquier curva cerrada, y eso es lo que acabarás haciendo tú en el último reto.

Con dos norias, el truco está en las velocidades. Si la primera da una vuelta mientras la segunda da k, la figura se repite tantas veces por vuelta como diferencia haya entre sus velocidades, contando el sentido: una velocidad negativa significa girar al revés.

Monta la segunda noria sobre la primera y consigue una flor de cuatro pétalos. Elige a cuántas vueltas gira la segunda mientras la primera da una, y su tamaño.

Las norias de un sonido que se repite

La nota de un instrumento es un sonido que se repite: su onda es la misma una vez y otra, por ejemplo 220 veces por segundo. Si quieres escribir esa onda como una suma de norias, no te vale cualquiera, porque la suma tiene que empezar de nuevo igual en cada repetición. Eso solo ocurre si cada noria da un número entero de vueltas en cada repetición.

La noria que da una vuelta por repetición es la más lenta de todas y se llama fundamental; marca la nota que oímos. Las que dan dos, tres o cuatro vueltas por repetición son los armónicos. Con una fundamental de 220 Hz, sus armónicos están en 440, 660, 880 Hz y así sucesivamente, y la lista completa es la serie armónica. Cada noria de la lista tiene su tamaño y su punto de partida; la lista de tamaños es la receta del sonido.

La receta más sencilla es la de la onda cuadrada, que salta entre dos valores como un interruptor. Se construye solo con los armónicos impares, el primero, el tercero, el quinto, cada uno más pequeño que el anterior: un tercio, un quinto, un séptimo. Cuantos más sumas, más rectos quedan los lados, y el sonido pasa de la suavidad de una noria sola a un pitido brillante y áspero.

Ajusta la receta de nueve norias arrastrando la altura de cada barra, hasta que la suma, en verde, se parezca a la onda cuadrada punteada. Escúchala mientras la montas.

En 1807, Joseph Fourier, que estudiaba cómo se reparte el calor en un objeto, afirmó que cualquier curva que se repite se puede escribir como una suma de ondas. Lagrange y Laplace, dos de los grandes matemáticos de la época, no se lo creyeron: ¿cómo iban a formar una esquina unas ondas suaves? Fourier publicó su teoría en 1822, y tenía razón, con un matiz que verás dentro de un momento. La receta completa de una onda que se repite, con las norias que lleva, su tamaño y su punto de partida, es su serie de Fourier.

El timbre: la misma nota, otra receta

Un violín y una flauta pueden tocar el mismo La, con la misma fundamental. Lo que cambia es la receta: la flauta tocada suave es casi una noria sola, mientras que la cuerda frotada lleva muchos armónicos fuertes, y el clarinete en su registro grave lleva sobre todo armónicos impares, como la onda cuadrada. Esa receta es buena parte de lo que llamamos timbre, lo que distingue dos sonidos que tienen la misma nota y el mismo volumen.

La otra parte del timbre está en cómo arranca la nota: si te dan solo el centro de una nota y no su comienzo, aciertas bastante menos qué instrumento era. Y en tu voz pasa igual. Tu «aaa» no es una noria, sino una pila de norias, y su receta es parte de lo que hace que suene a ti; un «iii» en la misma nota tiene otra receta.

Hay una pieza más en la receta, el punto de partida de cada noria. Si lo cambias, la forma de la onda cambia mucho, pero un sonido sostenido casi no suena distinto, porque el oído se fija sobre todo en los tamaños. No es del todo sordo a la fase: si el cambio desordena el sonido en el tiempo, se nota. Y para la nota ni siquiera hace falta que esté la noria grande. El teléfono apenas deja pasar nada por debajo de unos 300 Hz, y la fundamental de una voz grave suele estar entre unos 90 y 155 Hz; aun así, al otro lado no oyes a nadie más agudo, porque tu oído reconstruye la nota a partir de los armónicos que sí llegan, que se repiten al ritmo de la fundamental. Esa nota sin su noria grande es la fundamental ausente.

Para la misma nota, un Re, hay tres recetas: una flauta suave, una cuerda frotada y un clarinete grave. Escucha cada una y luego deja que suene una a ciegas. Acierta cuál es tres veces seguidas.

Los flecos que no se van

Cuantas más norias sumas, más se parece la suma a la onda cuadrada, salvo en un detalle: junto a cada salto queda un fleco que se pasa de largo. Al añadir norias, el fleco se estrecha y se pega al salto, pero no baja: se queda en torno al 9 % del salto. Es el fenómeno de Gibbs, y es el matiz que se le escapó a Lagrange. Justo en el salto, la suma se queda en el punto medio, y a cada lado el fleco es cada vez más fino pero igual de alto.

Fíjate en que el 9 % es del salto, no de la amplitud: en una onda cuadrada que va de −1 a 1, el salto mide 2, así que el fleco sobresale casi 0,18 por encima del tope. Lo describió primero Henry Wilbraham en 1848, aunque lleva el nombre de Josiah Willard Gibbs, que lo explicó en 1899. Se nota en la práctica: un filtro que corta en seco una señal hace oscilar sus bordes.

Sube el número de armónicos de la onda cuadrada hasta que el primer fleco quede a menos de 1/100 de periodo del salto. Cuando lo consigas, escribe cuánto sobresale el fleco, en porcentaje del salto, y pulsa «Comprobar».

Dibujar cualquier cosa con norias

Las norias no solo suman ondas. Un punto del plano que recorre un contorno cerrado, una estrella, una letra o una silueta, también se puede escribir como una suma de norias, montadas unas sobre otras y girando unas hacia un lado y otras hacia el otro. Las grandes y lentas dan la forma general; las pequeñas y rápidas, las puntas, igual que en el salto de la onda cuadrada, donde hacían falta muchas norias rápidas.

En 2008, dos estudiosos de la historia y la filosofía de la ciencia, Santiago Ginnobili y Christián Carman, montaron mil norias unas sobre otras y consiguieron que la última dibujara la silueta de Homer Simpson, que puedes ver en su vídeo. Y en 1898, el físico Albert Michelson construyó una máquina de engranajes y muelles que sumaba ochenta norias y dibujaba el resultado con una pluma; en el artículo donde la presentó, una de las curvas que dibuja es el perfil de una cara.

Sumar norias es fácil: dada la receta, sale la curva. Hacerlo al revés, dada la curva, averiguar qué norias la forman, es el trabajo de la lección 4. En el reto, la página ya sabe hacerlo por ti, con una herramienta que conocerás allí, y tú solo decides cuántas norias le dejas usar.

La estrella de tinta se copia con una suma de norias, en verde. Elige cuántas norias usa la copia y consigue que el error baje del 2 % del tamaño de la figura con las menos que puedas. Si quieres, pulsa «Dibujar la mía» y dibuja tu propia figura con el dedo o el ratón.

En tu voz

Qué grabar. Un «aaa» sostenido y luego un «iii» en la misma nota, el tramo 3 de la grabación de referencia de la serie, y un silbido sostenido, el tramo 2, para comparar. Graba con el micrófono si tu navegador lo deja; si no, sube un audio grabado con el móvil o prueba con los ejemplos sintéticos.

Qué mirar. El laboratorio busca el trozo más estable de tu grabación, mide su nota y dibuja, en barras ámbar, el tamaño de cada armónico: tu receta. Después vuelve a sumar las norias, y con los botones eliges cuántas dejas. Con una noria suena un pitido en tu nota; con cinco o diez empieza a parecerse a tu vocal; con veinte se reconoce la vocal, pero suena a órgano o a sintetizador, porque a la receta le faltan el ruido del aire y las pequeñas variaciones naturales de una voz. En un silbido verás casi una sola barra. Si grabas voces muy graves con el móvil, la barra 1 puede salir débil: los micrófonos pequeños atenúan los graves, y es la fundamental ausente. Puedes arrastrar sobre la grabación para mover la ventana y guardar una receta como referencia, para compararla con otra.

Lo que tienes que recordar

  1. Sumar ondas es sumar sus alturas instante a instante. Si van a la par, se refuerzan; si una sube cuando la otra baja, se anulan.
  2. Un sonido que se repite es una suma de norias que dan un número entero de vueltas por repetición: la fundamental, que marca la nota, y sus armónicos. La lista de tamaños es la receta, y la receta, junto con cómo arranca el sonido, es buena parte del timbre.
  3. Con la receta, cualquier onda que se repite se reconstruye sumando norias. Junto a los saltos queda un fleco de en torno al 9 % del salto que se estrecha, pero no baja, y los contornos cerrados se dibujan igual, con norias montadas unas sobre otras.

Errores típicos

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Rincón matemático

Las fórmulas, para quien las quiera. Cada una va después de su lectura en palabras.

Una suma de norias

Cada noria tiene su tamaño A_k, gira k veces más rápido que la fundamental f_0 y empieza en su ángulo \varphi_k; la onda es la suma de las alturas de todas:

x(t) = \sum_{k=1}^{K} A_k \sin\!\left(2\pi k f_0 t + \varphi_k\right)

Interferencia

Dos norias de la misma velocidad y el mismo tamaño A, con sus cabinas separadas un ángulo \varphi, suman otra noria de esa velocidad cuyo tamaño depende del desfase:

A_{\text{suma}} = 2A\left|\cos\frac{\varphi}{2}\right|

La serie de Fourier

Una onda periódica razonable, de periodo T, es una constante más una suma de cosenos y senos que dan k vueltas por periodo:

x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \cos\!\left(\frac{2\pi k t}{T}\right) + b_k \sin\!\left(\frac{2\pi k t}{T}\right)\right]

Cada coeficiente se obtiene comparando la onda con su noria durante un periodo: se multiplican y se mide el área, que es la idea de la lección 4:

a_k = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos\!\left(\frac{2\pi k t}{T}\right)dt, \qquad b_k = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin\!\left(\frac{2\pi k t}{T}\right)dt

Cuadrada, sierra y triangular

La onda cuadrada que salta entre −1 y 1 solo tiene armónicos impares, con tamaños que bajan como uno entre k:

x(t) = \frac{4}{\pi}\left(\sin \omega t + \frac{\sin 3\omega t}{3} + \frac{\sin 5\omega t}{5} + \cdots\right)

La sierra lleva todos los armónicos, que bajan como uno entre k; la triangular, solo los impares, que bajan como uno entre k al cuadrado:

\text{sierra: } \frac{2}{\pi}\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin k\omega t, \qquad \text{triangular: } \frac{8}{\pi^2}\sum_{k\ \text{impar}}\frac{(-1)^{(k-1)/2}}{k^2}\sin k\omega t

El fenómeno de Gibbs

Con los n primeros impares, el primer pico está a un periodo dividido entre cuatro veces n del salto, y su altura tiende a un valor fijo que se escribe con el «seno integral»:

t_{\text{pico}} = \frac{T}{4n}, \qquad \lim_{n\to\infty} \max x_n = \frac{2}{\pi}\,\mathrm{Si}(\pi) \approx 1{,}179, \qquad \mathrm{Si}(\pi) = \int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,du \approx 1{,}8519

Dicho como fracción del salto, el exceso es:

\frac{\mathrm{Si}(\pi)}{\pi} - \frac{1}{2} \approx 0{,}0895

Aun así, la energía del error se va a cero: la energía de la onda es la suma de las energías de sus norias (igualdad de Parseval), así que lo que dejas fuera es cada vez menos:

\frac{1}{T}\int_0^T |x(t)|^2\,dt = \sum_{k} |c_k|^2

Epiciclos

Un punto del plano se escribe como un número complejo z = x + iy, y una noria de radio r que da k vueltas por periodo es r\,e^{i(2\pi k t/T + \varphi)}. Un dibujo cerrado es una suma de norias que giran en los dos sentidos:

z(t) = \sum_{k=-K}^{K} c_k\, e^{\,i 2\pi k t / T}, \qquad c_k = \frac{1}{T}\int_0^T z(t)\, e^{-i 2\pi k t / T}\,dt

Con N puntos del contorno, los coeficientes salen de la transformada discreta, que se cuenta en la lección 5:

c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} z_n\, e^{-i 2\pi k n / N}

Dos norias casi iguales

Dos norias de periodos T_1 y T_2 casi iguales se alinean cada cierto tiempo, el de batido:

T_{\text{batido}} = \frac{1}{\left|\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{1}{T_2}\right|} \qquad (12\ \text{h y}\ 12{,}42\ \text{h} \ \Rightarrow\ \approx 354\ \text{h} \approx 14{,}8\ \text{días})

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