Nivel 5 · Lección 15

¿Qué frecuencia tiene una sirena?

Unos 50 minutos

La idea en una imagen

Una noria que acelera y frena. La altura de su cabina verde, apuntada instante a instante, dibuja la onda de la derecha: lo recién apuntado está junto a la noria, y lo de la derecha pasó hace hasta dos segundos. Cuando la noria va deprisa, las crestas se aprietan, y cuando va despacio, se estiran. Con los mandos eliges la velocidad media y cuánto acelera y frena.

En la lección 1, la noria giraba siempre a la misma velocidad, y esa velocidad era la frecuencia de la onda. Aquí la noria puede acelerar y frenar, como el sonido de una sirena, y la pregunta cambia: cuántas vueltas por segundo da ahora. Esa velocidad del momento es lo que, en esta lección, se llama frecuencia, y se puede ver en la imagen en lo apretadas que están las crestas justo a la derecha de la noria.

Paso a paso

Cronometrar una vuelta

Lo más sencillo que se puede hacer con una noria que gira es cronometrar una vuelta. Cada vez que la cabina pasa por el mismo punto, por ejemplo por lo más alto, ha dado una vuelta entera, y el tiempo entre dos pasadas es lo que ha durado esa vuelta, el periodo de la lección 1. La frecuencia es su inversa: si una vuelta dura 1,25 s, la noria da 0,8 vueltas por segundo. En una señal, el punto de referencia más cómodo es el cruce por cero, el instante en que la onda pasa por la altura del eje, y dos cruces hacia arriba seguidos encierran una vuelta.

Mientras la noria gire siempre igual, da lo mismo cuándo midas. Si cambia de velocidad, cada vuelta dura un poco distinto y cada medida te cuenta la velocidad de ese momento, no la de toda la señal.

Esta noria gira a una velocidad que no sabes. Pulsa «¡Arriba!» cada vez que la cabina verde pase por lo más alto, al menos cuatro veces, y averigua cuántas vueltas por segundo da.

También sirve la barra espaciadora o tocar la noria. «Otra noria» cambia la velocidad y borra tus marcas.

El velocímetro de la noria

Lo que ha hecho el cronómetro tiene nombre. La fase de la noria es el ángulo total que ha recorrido la cabina, contando las vueltas completas, y hace de cuentakilómetros. La frecuencia instantánea es lo rápido que avanza esa fase en este momento, cuántas vueltas daría la noria en un segundo si siguiera al ritmo de ahora, y hace de velocímetro. Como en un coche, un instrumento es la pendiente del otro: donde la curva de la fase se empina, la noria gira deprisa, y donde se aplana, despacio.

Esto contesta a la pregunta de la cabecera. La frecuencia de la transformada de Fourier de la lección 4 es la de norias que giran a velocidad fija de principio a fin, y por eso una sirena sale como una mancha ancha: para describir su subida con norias fijas hacen falta muchas. Con una sola noria que acelera y frena, en cambio, basta una frecuencia que cambia con el tiempo. El espectrograma de la lección 11 también la dibuja como una línea, pero borrosa, por las baldosas de la lección 12: con una ventana corta la nota sale gorda, y con una larga la subida se emborrona.

Arriba ves cuántas vueltas ha dado una noria en cuatro segundos, su fase. Abajo, arrastra los cuatro puntos naranjas hasta la velocidad de la noria en cada momento.

Con el teclado, elige un punto con las flechas izquierda y derecha y muévelo con las de arriba y abajo.

Chirps: la noria que acelera

Una señal cuya frecuencia sube o baja con el tiempo es un chirp: el gorjeo de un pájaro, el barrido de un murciélago, una sirena. En el espectrograma deja una línea inclinada. Un chirp lineal sube los mismos hercios cada segundo, y un chirp exponencial sube las mismas octavas cada segundo, es decir, dobla su frecuencia cada mismo tiempo. El oído cuenta octavas, no hercios, así que solo el segundo suena a subida uniforme. Escucha los dos, que suben de 200 a 3.200 Hz en dos segundos: el lineal parece correr al principio y cansarse al final.

Para fabricar un chirp con el ordenador hay una trampa clásica. La fase es lo acumulado, la suma de lo que ha girado la noria en cada instante, y no basta con poner la frecuencia de ahora dentro del seno: en un chirp lineal que empieza en f0 y sube k hercios por segundo, la fase crece con el cuadrado del tiempo, y el rincón matemático tiene la cuenta.

Los chirps están por todas partes. Un murciélago moreno que persigue una polilla grita en ultrasonidos, demasiado agudos para nosotros, y cada grito es un chirp: en dos a cinco milésimas de segundo, su nota baja de unos 65.000 a unos 25.000 hercios, y con el eco calcula a qué distancia está la presa con una precisión de centímetro y medio. Un silbato de émbolo, un tubo cerrado por un pistón, es el chirp más fácil de fabricar: cuanto más corto dejas el tubo, más aguda la nota, y si mueves el pistón mientras soplas, haces un chirp.

Debajo ves el espectrograma de un chirp de muestra. Fabrica uno igual: elige dónde empieza, dónde acaba y si es lineal o exponencial, hasta que tu línea naranja tape a la de la muestra.

La sirena que pasa

Cuando la sirena de una ambulancia se acerca, sus crestas te llegan apelotonadas, y suena más aguda de lo que es; cuando se aleja, te llegan estiradas, y suena más grave. A este cambio de frecuencia por el movimiento se le llama efecto Doppler, y lo propuso Christian Doppler en 1842. En 1845, el holandés Buys Ballot subió a un trompista a un tren entre Utrecht y Maarssen y puso a gente con buen oído en los andenes para comprobarlo.

La caída al pasar depende solo de la velocidad de la ambulancia: a 90 km/h, una sirena baja de golpe unos dos semitonos y medio, la nota que sea. La distancia a la que pasa decide otra cosa, lo brusco que es el cambio: pegado a la carretera, ocurre en una fracción de segundo, y desde lejos se reparte en varios. Una confusión corriente es creer que, mientras la ambulancia se acerca, la sirena va subiendo: se acerca a velocidad constante, suena más aguda que la real y fija, y lo que sube es el volumen.

Los animales también lo usan. El murciélago grande de herradura, que vive en la península ibérica, grita por la nariz una nota casi fija, de unos 83.000 hercios. Cuando vuela hacia algo, el eco le vuelve más agudo por el efecto Doppler, y entonces baja su nota lo justo para que el eco le llegue siempre a la misma frecuencia, la que mejor oye.

Consigue que la nota de la sirena caiga exactamente dos semitonos cuando la ambulancia pasa. La distancia a la carretera puede ser la que quieras.

El mensaje, en el tamaño o en la velocidad

La noria es también la manera de enviar un mensaje por radio. Se parte de una onda de fondo, de velocidad fija, la portadora, y el mensaje, la voz o la música, se le añade cambiando algo de la noria. En la modulación de amplitud, la AM, la noria cambia de tamaño al ritmo del mensaje. En la modulación de frecuencia, la FM, cambia de velocidad: acelera y frena alrededor de la velocidad de la portadora, y lo que se aparta de ella, hacia arriba y hacia abajo, es la desviación de frecuencia.

Una emisora de FM gira a unos 100 millones de vueltas por segundo y, como mucho, acelera y frena 75.000 vueltas por segundo arriba y abajo, menos de una milésima, que es la desviación máxima en Europa Occidental y Estados Unidos. Edwin Armstrong patentó su sistema en 1933. Un vibrato de cantante es lo mismo, una FM muy lenta de la voz. Si la noria acelera y frena cientos de veces por segundo, el oído deja de oír una nota que sube y baja y oye un timbre nuevo.

Esta señal es una portadora de 800 Hz con un mensaje lento, de tres vueltas por segundo, metido en el tamaño. Consigue una FM pura, sin cambios de tamaño, que se desvíe 100 Hz arriba y abajo.

Leer un chirp de verdad

El 14 de septiembre de 2015, los dos detectores LIGO, en Estados Unidos, registraron una vibración del propio espacio. Durante unas dos décimas de segundo, la señal subió de 35 a 250 Hz, cada vez más deprisa, en unos ocho ciclos: era el chirp de dos agujeros negros, de unas 36 y 29 masas solares, que giraban uno alrededor del otro hasta fundirse en uno. Tal cual, es grave y breve, y en el altavoz de un móvil casi no se oye. Por eso, para escucharla, se suele subir de tono, como quien pinta en falso color una foto del telescopio; GWOSC, el centro que publica los datos, la desplaza 400 Hz hacia arriba.

Para leer su frecuencia, los físicos de LIGO y Virgo hicieron lo mismo que tú con la noria del primer reto: cronometrar cuánto tarda cada media vuelta, entre dos cruces por cero seguidos, y de ahí sacaron 35 vueltas por segundo al principio y más de 150 poco antes del choque. La señal de la página no es lo que midió el detector tal cual, sino la forma de onda de relatividad numérica que mejor se ajusta a lo que midió el detector de Hanford, ya filtrada y sin ruido, tal como la publica GWOSC para la figura 1 del artículo del descubrimiento.

Mide la frecuencia de la onda gravitacional al principio y cerca del final. Toca dos cruces por cero seguidos para medir una media vuelta, y haz una medida antes de 0,36 s y otra después de 0,40 s.

Datos: LIGO Scientific Collaboration y Virgo Collaboration, publicados por el Gravitational Wave Open Science Center con licencia CC BY 4.0 (doi:10.7935/K5MW2F23). Forma de onda de relatividad numérica proyectada sobre el detector de Hanford (figura 1 de Abbott et al., 2016, Phys. Rev. Lett. 116, 061102), señal filtrada entre 35 y 350 Hz. Cambios: recortada entre unos 0,29 y 0,46 s, con una muestra de cada cuatro; para el sonido, desplazada 400 Hz hacia arriba.

En tu voz

Qué grabar. Un silbido que sube y baja despacio, de unos 10 segundos: es el tramo 4 de la grabación de referencia de la serie. Graba con el micrófono si tu navegador lo deja; si no, sube un audio grabado con el móvil o prueba con los ejemplos sintéticos, que incluyen una sirena.

Qué mirar. El laboratorio busca primero dónde está tu silbido en el espectrograma, filtra alrededor de él y cronometra las vueltas entre cruces por cero, ocho a ocho. La curva naranja que sale es tu frecuencia instantánea, y la verás sobre el espectrograma: una línea mucho más fina que la mancha borrosa de debajo. La noria gira al ritmo medido, a cámara lenta, y acelera y frena con tu boca. Si cantas en vez de silbar, los armónicos crean cruces de más y la curva sale desordenada o salta de armónico, y es justo lo que contará la lección 16.

Lo que tienes que recordar

La fase es el ángulo que ha recorrido la noria, contando las vueltas completas, y la frecuencia instantánea es su ritmo de cambio: el velocímetro de la noria. Se puede medir cronometrando vueltas entre cruces por cero.
Un chirp es una noria que acelera. Se fabrica sumando lo que gira en cada instante, y el oído lo siente uniforme cuando sube las mismas octavas cada segundo, no los mismos hercios.
El efecto Doppler, la AM y la FM juegan con la noria: Doppler cambia la velocidad con que te llegan las crestas, la AM cambia su tamaño y la FM, su velocidad. La frecuencia instantánea solo tiene sentido con una noria sola que cambia despacio comparado con una vuelta.

Errores típicos

«La frecuencia instantánea es lo que marca el espectro en ese momento.» El espectro de Fourier mira la señal entera, y el espectrograma, un trozo, y lo emborrona. La frecuencia instantánea es otra cosa: lo rápido que avanza el ángulo de la noria ahora mismo.
«Mientras la ambulancia se acerca, su sirena sube de tono.» Mientras se acerca a velocidad constante y en línea recta hacia ti, suena más aguda que la real, pero fija, y al pasar cae de golpe. Si la carretera pasa a un lado, el cambio se reparte en los segundos de alrededor del paso, y es más brusco cuanto más cerca pasa. Lo que sí sube al acercarse es el volumen.
«Para fabricar un chirp lineal basta con poner la frecuencia de cada instante dentro del seno.» La fase es lo acumulado. Si escribes seno de 2π·(f0 + k·t)·t, la frecuencia real sube el doble de deprisa, f0 + 2·k·t, y es un fallo clásico al programar chirps.
«Un chirp lineal suena como una subida uniforme.» El oído cuenta octavas, y a un lineal de 200 a 3.200 Hz le caben más de tres octavas en el primer segundo y menos de una en el segundo, así que parece que frena. Suena uniforme el exponencial, que dobla su frecuencia cada mismo tiempo.
«La frecuencia instantánea existe siempre.» Tiene sentido con una sola noria que cambia despacio comparado con una vuelta. Con dos notas a la vez, o con cambios tan rápidos como el giro, deja de significar «la nota que oyes», y de eso trata la lección 16.

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Rincón matemático

Las fórmulas, para quien las quiera. Cada una va después de su lectura en palabras.

Fase y frecuencia instantánea

Una onda es una noria cuyo tamaño A y cuyo ángulo \varphi pueden cambiar con el tiempo:

x(t) = A(t)\,\cos\varphi(t)

La frecuencia instantánea es el ritmo de cambio del ángulo, contado en vueltas por segundo:

f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\,\frac{d\varphi}{dt}

Y el ángulo es la suma acumulada de lo que ha girado la noria:

\varphi(t) = \varphi_0 + 2\pi \int_0^t f_i(\tau)\, d\tau

Chirps

Un chirp lineal empieza en f_0 y sube k hercios cada segundo, y su fase crece con el cuadrado del tiempo:

f(t) = f_0 + k\,t, \qquad \varphi(t) = 2\pi\left(f_0\,t + \tfrac{k}{2}\,t^2\right)

Un chirp exponencial multiplica su frecuencia por lo mismo en cada tramo igual de tiempo, y en T segundos va de f_0 a f_1:

f(t) = f_0 \left(\frac{f_1}{f_0}\right)^{t/T}, \qquad \varphi(t) = \frac{2\pi f_0 T}{\ln(f_1/f_0)}\left[\left(\frac{f_1}{f_0}\right)^{t/T} - 1\right]

Cronometrar vueltas

Cronometrando N vueltas entre dos cruces por cero hacia arriba, la frecuencia es N partido por lo que han tardado; entre dos cruces seguidos, hacia arriba y hacia abajo, cabe media vuelta:

\hat f \approx \frac{N}{t_{k+N} - t_k}, \qquad \hat f \approx \frac{1}{2\,(t_{k+1} - t_k)}

AM y FM

En AM, el mensaje s cambia el tamaño de la portadora; en FM, cambia su velocidad, y la frecuencia instantánea es la de la portadora más la desviación por el mensaje:

x_{AM}(t) = \left[1 + m\, s(t)\right]\cos(2\pi f_c t), \qquad x_{FM}(t) = \cos\!\left(2\pi f_c t + 2\pi\,\Delta f \int_0^t s(\tau)\,d\tau\right), \qquad f_i = f_c + \Delta f\, s(t)

La regla de Carson dice que una FM ocupa más o menos dos veces la suma de la desviación y la frecuencia del mensaje:

B \approx 2\,(\Delta f + f_m)

Efecto Doppler

Para una fuente que se mueve con velocidad v y un oyente quieto, siendo \theta el ángulo entre la velocidad y la línea que va de la fuente al oyente, y c la velocidad del sonido:

f_o = f_s\,\frac{c}{c - v\cos\theta}

Y la caída al pasar, en semitonos, solo depende de la velocidad:

\Delta_{\text{st}} = 12\,\log_2\frac{c + v}{c - v}

El eco que recibe un murciélago que vuela a v hacia algo quieto lleva el efecto dos veces, a la ida y a la vuelta:

f_{\text{eco}} = f\,\frac{c + v}{c - v}

El silbato de émbolo

La nota de un tubo cerrado por un lado es la velocidad del sonido entre cuatro veces la longitud, con la corrección del extremo abierto, que es de unas seis décimas del radio del tubo:

f \approx \frac{c}{4\,(L + 0{,}6\,r)}

Para saber más

Artículo abierto · inglésAbbott, B. P. et al. (2016). Observation of gravitational waves from a binary black hole merger. El artículo del descubrimiento; la figura 1 enseña la señal y su espectrograma: el chirp en un vistazo.
Artículo abierto · inglésLIGO Scientific Collaboration y Virgo Collaboration (2017). The basic physics of the binary black hole merger GW150914. Cómo leer la masa de los agujeros negros cronometrando los cruces por cero, con física de bachillerato.
Datos abiertos · inglésGWOSC, la página de GW150914. Los datos, con su licencia, y un tutorial que convierte la señal en sonido.
Libro abierto · inglésDowney, A. B., Think DSP, cap. 3. Chirps lineales y exponenciales, y cómo se fabrican sumando la fase.
Libro abierto · inglésOpenStax, University Physics vol. 1, § 17.7, el efecto Doppler. Las fórmulas, con el ejemplo del tren y la ambulancia.
Artículo abierto · inglésMoss, C. F. y Surlykke, A. (2010). Probing the natural scene by echolocation in bats. Cómo cambian los chirps de un murciélago mientras persigue a una presa.
Interactivo · inglésChrome Music Lab, Spectrogram. Silba subiendo y bajando y mira tu chirp en directo.