Dónde está una señal y cuánto se reparte
La energía de la señal es la integral de su valor al cuadrado, y se trata como si fuera una probabilidad. El instante medio \bar t y la desviación típica en el tiempo \sigma_t se calculan con la energía de la señal, y la frecuencia media \bar f y la desviación típica en frecuencia \sigma_f, con la energía de su espectro X(f):
E = \int |x(t)|^2\,dt, \qquad \sigma_t^2 = \frac{1}{E}\int (t-\bar t)^2\,|x(t)|^2\,dt, \qquad \sigma_f^2 = \frac{1}{E}\int (f-\bar f)^2\,|X(f)|^2\,df
El límite
El producto de las dos anchuras nunca baja de uno partido por cuatro pi, con la frecuencia medida en hercios:
\sigma_t\,\sigma_f \;\ge\; \frac{1}{4\pi}
La igualdad
Solo la alcanza una noria de cualquier velocidad recortada por una campana de Gauss, desplazada en el tiempo hasta donde se quiera:
x(t) = A\, e^{-\frac{(t-t_0)^2}{4\sigma_t^2}}\, e^{i(2\pi f_0 t + \varphi)}
La versión de Gabor
Gabor multiplicó cada desviación típica por la raíz de dos pi para llamarlas «duraciones efectivas», y con esa medida el mínimo vale un medio:
\Delta t = \sqrt{2\pi}\,\sigma_t,\quad \Delta f = \sqrt{2\pi}\,\sigma_f \;\Rightarrow\; \Delta t\,\Delta f \ge \tfrac{1}{2}
Por qué es cierto, en una línea
Con el centro en cero, la desigualdad de Cauchy-Schwarz entre t\,x(t) y la derivada de x da un cuarto de la energía al cuadrado. Como la energía de la derivada es cuatro pi cuadrado por la energía de f\,X(f), sale el límite. La igualdad exige que la derivada sea proporcional a t\,x(t), y eso solo lo cumple la campana:
\left(\int t^2|x|^2dt\right)\left(\int |x'|^2dt\right) \ge \frac{E^2}{4}, \qquad \int |x'|^2dt = 4\pi^2\!\int f^2|X(f)|^2df
La misma desigualdad en cuántica
Si se escribe el momento como la constante de Planck por la «frecuencia espacial» de la onda, según la relación de De Broglie, multiplicar el límite por h da la desigualdad de Kennard para la posición y el momento:
p = h\,\nu_x \;\Rightarrow\; \sigma_x\,\sigma_p \ge \frac{h}{4\pi} = \frac{\hbar}{2}
La ventana de Hann
Una ventana de Hann de duración T se queda a un 2,6 % del mínimo:
\sigma_t \approx 0{,}1414\,T, \qquad \sigma_f = \frac{1}{\sqrt{3}\,T}, \qquad \sigma_t\,\sigma_f \approx 1{,}026\cdot\frac{1}{4\pi}
Reglas de bolsillo con la ventana de Hann
Medidas con un hueco de 3 dB entre picos: dos notas que se llevan \Delta f hercios se separan si la ventana dura al menos dos partido por esa diferencia, y dos golpes separados d segundos, si están separados al menos media ventana. Las dos cosas caben juntas si el producto vale al menos uno:
T \ge \frac{2}{\Delta f}, \qquad d \ge \frac{T}{2} \;\Rightarrow\; d\,\Delta f \ge 1
La mejor ventana para un tono que sube
Para un tono que sube c hercios por cada segundo, con una ventana gaussiana de desviación típica \sigma medida en la amplitud, la línea del espectrograma es lo más fina posible con esta ventana, y su anchura mínima, como desviación típica de la energía en frecuencia, es:
\sigma_{\text{ópt}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi c}}, \qquad \sigma_f^{\min} = \sqrt{\frac{c}{2\pi}}