La familia de copias
Cada copia es la wavelet madre estirada a escala a y desplazada al instante b. El factor de delante elige cómo se normaliza: uno partido por a conserva la amplitud, y uno partido por la raíz de a, la energía:
\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{a}\,\psi\!\left(\frac{t-b}{a}\right) \quad\text{o}\quad \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\,\psi\!\left(\frac{t-b}{a}\right)
La transformada wavelet continua
Para cada escala y cada instante se mide el parecido entre la señal y la copia: se multiplica punto a punto, con la conjugada de la copia, y se suma el área:
W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\overline{\psi_{a,b}(t)}\,dt
La wavelet de Morlet
Es una noria que da \omega_0 radianes por unidad de escala, dentro de una campana de Gauss. El término que se resta asegura la media cero y es despreciable si \omega_0 \ge 5:
\psi(t) = \pi^{-1/4}\left(e^{i\omega_0 t} - e^{-\omega_0^2/2}\right) e^{-t^2/2}
De escala a frecuencia
El pico de la respuesta está en \omega_0 dividido entre dos pi por la escala. Torrence y Compo usan el periodo de Fourier equivalente, que con \omega_0 = 6 es 1,03 veces la escala:
f_{\text{pico}} = \frac{\omega_0}{2\pi a}, \qquad \lambda = \frac{4\pi a}{\omega_0 + \sqrt{2+\omega_0^2}} \approx 1{,}03\,a
Admisibilidad
Para poder reconstruir la señal, la energía del espectro de la wavelet dividida por la frecuencia tiene que ser finita. En la práctica, eso exige media cero:
C_\psi = \int_0^{\infty} \frac{|\Psi(\omega)|^2}{\omega}\,d\omega < \infty \;\Rightarrow\; \int \psi(t)\,dt = 0
Baldosas de área mínima y forma variable
A escala a, la energía de la Morlet se reparte en el tiempo con una desviación típica de a dividido por la raíz de dos, y en frecuencia con una proporción fija de su frecuencia. El producto es siempre el mínimo de Gabor:
\sigma_t = \frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad \frac{\sigma_f}{f} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\omega_0}, \qquad \sigma_t\,\sigma_f = \frac{1}{4\pi}
Q constante
La frecuencia central dividida por la anchura no depende de la frecuencia. Con \omega_0 = 6, la anchura es un 11,8 % de la frecuencia:
Q = \frac{f}{\delta f} = \text{constante}
Reconstrucción
Con la normalización de energía, la señal se recupera sumando todas las copias pesadas por sus parecidos, según Grossmann y Morlet:
x(t) = \frac{1}{C_\psi}\int_0^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} W(a,b)\,\psi_{a,b}(t)\,\frac{db\,da}{a^2}
Cono de influencia
Cerca de los bordes, a menos de raíz de dos veces la escala, el resultado no es fiable:
\tau_{\text{borde}}(a) = \sqrt{2}\,a
El semitono
Cada semitono multiplica la frecuencia por la raíz duodécima de dos, y en hercios la distancia crece con la nota:
f_{n+1} = 2^{1/12} f_n, \qquad \Delta f \approx 0{,}0595\,f
Los filtros del oído
Glasberg y Moore (1990) dieron su anchura equivalente en hercios, para frecuencias en hercios entre 100 y 10.000:
\mathrm{ERB}(f) = 24{,}7\,\left(4{,}37\,\frac{f}{1000} + 1\right)
Distancia de un terremoto
Se obtiene con la diferencia de llegada entre las ondas S y P y sus dos velocidades:
d = \Delta t\,\frac{V_P\,V_S}{V_P - V_S}